Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 892. feladat (2007. március)

C. 892. Bizonyítsuk be, hogy ha x, y, z pozitív valós számok és xyz=1, akkor nem lehet az

\frac{1}{1+x+xy},\qquad \frac{y}{1+y+yz},\qquad \frac{xz}{1+z+xz}

kifejezések mindegyike nagyobb \frac{1}{3}-nál.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Indirekt bizonyítunk. Tegyük föl, hogy mindhárom kifejezés nagyobb, mint 1/3. Ekkor teljesül az is, hogy:

3>1+x+xy,

3y>1+y+yz,

3xz>1+z+xz.

Ezekből z helyére 1/xy-t beírva

(1)3>1+x+xy,
(2)3y>1+y+1/x,
(3)3x.1/xy>1+1/xy+x.1/xy

következik. (1)-hez hozzáadva (2) x-szeresét és (3) xy-szorosát kapjuk, hogy:

3+3xy+3x>3+3x+3xy,

ami lehetetlen.

Kezdeti feltevésünk tehát hamis, nem lehet mindegyik kifejezés 1/3-nál nagyobb.

Statisztika:

238 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:168 versenyző.
4 pontot kapott:23 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:17 versenyző.
Nem versenyszerű:16 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai