A C. 902. feladat (2007. május)

C. 902. A K kört belülről érinti a fele akkora sugarú k kör. Szerkesszünk K-ban olyan húrt, amely merőleges a két kör középpontját összekötő egyenesre, és amelyet a k-val alkotott metszéspontjai három egyenlő részre osztanak.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Messe a húr a két kör középpontját összekötő szakaszt a nagyobbik kör középpontjától x távolságra, és legyen a három egyenlő szakasz hossza 2d.

Két Pitagorasz tételt írhatunk fel:

x²+(3d)²=(2r)²,

(r-x)²+d²=r².

Ez utóbbiból d²=2rx-x², amit az elsőbe helyettesítve és rendezve

4x²-9rx+2r²=0.

Innen x₁=2r és x₂=r/4, csak az utóbbi megoldás.

A keresett húrt úgy kapjuk meg, hogy kétszer elfelezünk egy r hosszúságú szakaszt, és a nagyobbik kör középpontjától ekkora távolságban állítunk merőlegest a két kör középpontját összekötő szakaszra.

Statisztika:

119 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bacsó András, Bencs 111 Ferenc, Berta Katalin, Besnyő Réka, Buza Dániel István, Csere Kálmán, Csizmadija Laura, Czotter Eszter, Dékány Tamás, Dudás 904 Ádám, Englert Ákos, Erdős Edina, Fábián Anna, Fridrik József Richárd, Györök Péter, Horváth 385 Vanda, Horváth Anikó, Izsó Dániel, Kiss 106 Judit, Kiss 777 Viktória, Kovács Györgyi, Kovács Solt, Kőszegi Tamás, Kupcsik Réka, Lantos Tamás, Márkus Bence, Molnár Kristóf, Nagy 216 Eszter, Németh 144 Bálint, Németh Erika Judit, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pócs Anita, Poócza Katalin, Prok Tamás, Pulai Gábor, Pupli Dorottya, Sánta Eszter, Schäfer Fanni, Sedyó Inez, Simon Gergely, Sövény András, Szabó 963 Noémi, Szakács Enikő, Szalai Szilárd, Szikszay László, Varga 001 Áron, Veres Gábor Pál, Vida György.
4 pontot kapott:	47 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai