A C. 909. feladat (2007. szeptember)

C. 909. Egy háromszög oldalhosszúságai egész számok, egyik közülük 7, a vele szemben fekvő szög mértéke 60^o. Mennyi lehet a háromszög területe?

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a háromszög két ismeretlen hosszúságú oldalát a és b. Tudjuk, hogy az általuk bezárt szög 60^o, és így a háromszög területe $t=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot ab=\frac{\sqrt3ab}{4}$ .

A koszinusz-tételt felírva a háromszögre:

$7^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12,$

49=a²+b²-ab=(a-b)²+ab.

Mivel ab pozitív, így (a-b)² értékére hét lehetőség adódik. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a $\leq$ b.

Ha a-b=6, akkor ab=49-6²=13, ebből nem egész megoldásokat kapunk.

Ha a-b=5, akkor ab=49-5²=24, ekkor a₁=8, b₁=3.

Megvizsgálva az összes lehetőséget, még két megoldás adódik: a-b=3, ab=49-3²=40, ekkor a₂=8, b₂=5; illetve a-b=0, ekkor a₃=b₃=7.

A területek rendre:

$t_1=6\sqrt3$ , $t_2=10\sqrt3$ és $t_3=\frac{49\sqrt3}{4}$ .

Statisztika:

421 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 146 versenyző.

4 pontot kapott: 52 versenyző.

3 pontot kapott: 17 versenyző.

2 pontot kapott: 28 versenyző.

1 pontot kapott: 72 versenyző.

0 pontot kapott: 99 versenyző.

Nem versenyszerű: 7 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai

421 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	146 versenyző.
4 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	72 versenyző.
0 pontot kapott:	99 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?