Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 919. feladat (2007. november)

C. 919. Egy derékszögű háromszöget átfogójának felező merőlegesével egy háromszögre és egy négyszögre vágtunk. A négyszög átlóinak aránya

\big(1+\sqrt3\,\big):2\sqrt2.

Mekkorák a derékszögű háromszög hegyesszögei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.

Megoldás:

Mivel E rajta van az AB szakasz felező merőlegesén, ezért EBA\angle=BAC\angle=\alpha.

BDE\triangle\sim ACB\triangle, ezért \frac{BD}{BE}=\frac{b}{c}. A Thalesz-tétel miatt BD=DC, így az átlók aránya \frac{CD}{BE}=\frac{b}{c}<1. Tudjuk, hogy 1+\sqrt3<2\sqrt2, ezért az átlók aránya:

b/c=\sin\alpha=(1+\sqrt3)/2\sqrt2.

Mivel

\sin75^{\circ}=\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=\frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2},

ezért

\alpha=75o,

\beta=15o.

Statisztika:

274 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:232 versenyző.
4 pontot kapott:19 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai