A C. 920. feladat (2007. december)

C. 920. A rétet egyik oldalán egy kb. 50 méteres egyenes szakaszon egy fal határolja. Mehemed szeretné a teheneit villanypásztorral minél nagyobb területű téglalap alakú részen elkeríteni. Hogyan teheti ezt meg, ha 44 méter hosszú drót áll rendelkezésére, amit

a) méterenként,

b) 2 méterenként,

tud a talajhoz rögzíteni? Mekkora az elkerített részek területe az egyes esetekben?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az elkerített téglalap falra merőleges oldalának hosszát méterben x, a másikét y. Ekkor a kerítés hosszúsága alapján 2x+y=44, az elkerített terület pedig xy. Az első egyenletből y-t kifejezve a terület x függvényében x(44-2x)=-2x²+44x=-2(x-11)²+242.

Ez egy negatív főegyütthatójú másodfokú függvény, legnagyobb értékét x=11-nél veszi föl, amely az a) esetben a keresett legnagyobb terület értéke: 242 m², y=22. A b) esetben x csak páros szám lehet. Mivel a terület függvénye x11 esetén szigorú monoton növekedő, x11 esetén szigorú csökkenő, ezért a 11-hez legközelebbi két páros számra veszi föl a legnagyobb értékét, ami x₁=10 (y₁=24) és x₂=12 (y₂=20) esetén egyaránt -2^.1²+242=240.

Statisztika:

356 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	185 versenyző.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	50 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	29 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai