A C. 921. feladat (2007. december)

C. 921. A félév vége előtti utolsó matematika dolgozat kiosztása előtt a tanár a következőt mondta Pistinek, aki 4-es és 5-ös között állt: ,,16-an írtátok meg a dolgozatot. Fél osztályzatokat is adtam. Az osztályzatok terjedelme 2, a módusza 4,5, a mediánja pedig 4. Az összes ilyen lehetőség közül a legrosszabb átlagot érte el a csoport. Ha megmondod, hogy ezek alapján kaphattál-e 5-öst a dolgozatodra, akkor megadom a jelest félévkor.'' Mit válaszolt Pisti, ha megkapta az 5-öst?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Bebizonyítjuk, hogy minden mintához, amelynél van a jegyek között jeles, hozzárendelhető egy másik minta, amelyben nincs jeles, és az átlaga kisebb. Ha van 5-ös, akkor lennie kell 3-asnak a mintában, mert a terjedelem 2. Egy hármast cseréljünk ki 2/3-adra, és az összes 5-öst 4/5-re: így a terjedelem és a medián nem változik, sőt a módusz is marad 4/5. A jegyek összege biztosan csökkent, tehát az átlag is. Így a legkisebb átlagú minta biztosan nem tartalmaz 5-öst, tehát Pisti válasza nemleges volt.

Statisztika:

279 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andris Veronika, Balogh András, Bereczki 118 Katalin, Botond Ákos, Bozi Veronika, Buzga Viktor, Csere Kálmán, Dávid Nikolett, Dér László, Farkas Gábor Ákos, Findrik Dénes, Földi Sándor, Garamszegi Balázs, Kalocsai Ákos, Karkus Zsuzsa, Katzer Attila, Kircsi Lajos, Kolonics Dávid, Kovács 472 Nóra Beáta, Kunos Vid, Kurucz Boglárka, Lantos Tamás, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mayer Martin János, Molnár Kristóf, Najbauer Eszter Éva, Németh 144 Bálint, Németh 727 László, Ratkóczy Péter, Sáfár Kinga, Scharle András, Simon Gergely, Strenner Péter, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szathmáry Anna, Százi Barbara, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Vesztergombi Júlia, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	69 versenyző.
2 pontot kapott:	54 versenyző.
1 pontot kapott:	43 versenyző.
0 pontot kapott:	30 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai