A C. 922. feladat (2007. december) |
C. 922. Adjuk meg az alábbi egyenlet összes egész megoldását: x2+12=y4.
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Mindkét oldalból x2-et kivonva kapjuk, hogy:
12=y4-x2=(y2)2-x2.
Mivel két szomszédos négyzetszám közötti különbség egyre nő, ahogy az alapok nőnek, ezért egy idő után a szomszédos négyzetszámok közötti különbség nagyobb lesz, mint 12. Ekkor persze a nem szomszédosok közti különbség szintén nagyobb lesz, mint 12. Írjuk fel a négyzetszámokat addig, amíg a szomszédosok különbsége el nem éri a 12-t:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
Az elmondottak miatt a megoldás csak ezek között lehet. Itt pedig csak a 4 és a 16 különbsége 12, tehát y4=16, x2=4 és így a megoldások: x1=2, y1=2; x2=2, y2=-2, x3=-2 y3=2 és x4=-2, y4=-2.
Statisztika:
352 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 200 versenyző. 4 pontot kapott: 43 versenyző. 3 pontot kapott: 43 versenyző. 2 pontot kapott: 35 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat.
A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai