 |
A C. 933. feladat (2008. február) |
C. 933. Adott az ABC háromszög. Adjuk meg azt a C ponton átmenő egyenest, amelynek C-től különböző bármely D pontjára az ABD háromszög kerülete nagyobb, mint az ABC háromszög kerülete.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel az AB szakasz bármilyen C pont választása mellett minden háromszögben benne lesz, ezért elég az AC+BC összeg legkisebb értékét vizsgálni. Tükrözzük a B pontot az e egyenesre (B'), és kössük össze C-vel. A tükrözés miatt BC=CB', tehát AC+BC=AC+CB'.
Látható, hogy ha D=AB'
e, akkor az így kapott háromszög kerülete kisebb, mint az ABC háromszögé. Ezért a B' pont rajta kell, hogy legyen az AC egyenesen. Ez pedig csak akkor van így, ha az e egyenes a háromszög C csúcsán átmenő külső szögfelezője.
Hogy ez az egyenes tényleg jó, arról az előbbi tükrözéses eljárással győződhetünk meg. (Ha a D pont éppen az e és az AB egyenes metszéspontja, akkor az ABD háromszög elfajuló háromszög.)
Megjegyzés: Ekkor az e egyenes az A ill. B fókuszpontú AC+CB nagytengelyű ellipszis érintője, hiszen ha e metszené az ellipszist egy P pontban is, akkor a CP húr bármelyik pontja még kisebb kerületet is eredményezne.
Statisztika:
170 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 85 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 36 versenyző.
A KöMaL 2008. februári matematika feladatai