A C. 940. feladat (2008. április)

C. 940. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n esetén 2⁴ⁿ-1 és 2⁴ⁿ+1 közül valamelyik osztható 17-tel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: 2⁴ⁿ=(2⁴)ⁿ=16ⁿ.

Legyen n páros, ekkor n=2k, és 2⁴ⁿ-1=16^2k-1^2k=(16+1)(16^2k-1-16^2k-2+16^2k-3-...+16-1)=17^.a, ahol a1 és egész, amennyiben k1. Vagyis ha n pozitív páros szám, akkor 17|2⁴ⁿ-1.

Legyen n páratlan, ekkor n=2k+1, és 2⁴ⁿ+1=16^2k+1-1^2k+1=(16+1)(16^2k-16^2k-1+16^2k-2-...-16+1)=17^.b, ahol b1 és egész, amennyiben k1. Vagyis ha n pozitív páratlan szám, akkor 17|2⁴ⁿ+1.

Statisztika:

172 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	67 versenyző.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai