A C. 952. feladat (2008. szeptember)

C. 952. Adott az 5 egység sugarú k kör, és rajta kívül egy P pont. Szerkesszünk a körben olyan 8 egység hosszúságú húrt, amely a P pontból derékszögben látszik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A keresett húr legyen az AB húr, melyen felezőpontját jelölje F. Ekkor BF=8/2=4, OB=5, és így a Pitagorasz-tétel alapján OF=3.

Ugyanakkor a Thalesz-tétel megfordítása szerint PF=4.

A szerkesztés menete a következő: az O középpontú, 3 sugarú és a P középpontú, 4 sugarú kör metszéspontja F. Az OF-re állított merőleges kimetszi a körből a keresett AB húrt.

Ha OP>3+4=7, akkor nincs megoldás.

Ha OP=7, akkor 1 megoldás van (az ábrán az F₁a húr felezőpontja).

Végül OP<7 esetén két, az OP szakaszra szimmetrikus megoldás van. (Az ábrán az F₂, illetve az F₃ középpontú húrok.)

Statisztika:

427 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	97 versenyző.
3 pontot kapott:	57 versenyző.
2 pontot kapott:	40 versenyző.
1 pontot kapott:	44 versenyző.
0 pontot kapott:	117 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai