A C. 956. feladat (2008. október) |
C. 956. Egy sokszög oldalainak számát megkétszerezzük. Melyek azok a sokszögek, amelyek esetén az új sokszög szögeinek összege egész számú többszöröse az eredeti sokszög szögösszegének?
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Az eredeti sokszög szögösszege: (n-2).180o, az új sokszögben a szögösszeg: (2n-2).180o. A feladat kérdése így is megfogalmazható: Lehet-e egész szám a , ha n 2-nél nagyobb egész?
Nézzük a következő átalakítást: . Ez alapján n-2 és így n értéke is négyféle lehet:
|
Ebből csak az n=3 és n=4 megfelelő. Vagyis háromszög és négyszög esetén lehetséges. (Ezek valóban jók. A szögek összege háromszög esetén: 180o, hatszög esetén: 4.180o; négyszög esetén: 360o, nyolcszög esetén: 3.360o.)
Statisztika:
463 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 166 versenyző. 4 pontot kapott: 136 versenyző. 3 pontot kapott: 101 versenyző. 2 pontot kapott: 25 versenyző. 1 pontot kapott: 20 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai