Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 973. feladat (2009. január)

C. 973. Oldjuk meg az 1+cos 3x=2cos 2x egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Tudjuk, hogy cos 2x=2cos²x-1 és sin 2x=2sin xcos x. Ezek felhasználásával cos 3x felírható cos x függvényeként:

cos 3x=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos²x-1)cos x-2(1-cos²x)cos x=4cos³x-3cos x.

Így a megoldandó egyenlet:

4cos³x-3cos x+1=4cos²x-2,

amit rendezve a következő harmadfokú egyenlethez jutunk:

4cos³x-4cos²x-3cos x+3=0.

Ennek a cos x=1 gyöke. Ekkor x₁=2k $\pi$ , ahol $k\in \Bbb Z$ . A bal oldalt szorzattá bontva:

(cos x-1)(4cos²x-3).

A másik gyök tehát a $\cos^2 x=\frac34$ alakból nyerhető, amiből $\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$ , és innen

$x_2=\pm\frac{\pi}{6}+l\pi,~~{\rm ahol}~~l\in \Bbb Z.$

Statisztika:

213 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 122 versenyző.

4 pontot kapott: 35 versenyző.

3 pontot kapott: 17 versenyző.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 8 versenyző.

0 pontot kapott: 20 versenyző.

Nem versenyszerű: 4 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai

213 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	122 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.