Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 987. feladat (2009. április)

C. 987. Egy papírból kivágott háromszög oldalainak hossza 8 cm, 10 cm és 12 cm. A legrövidebb oldalt ráhajtjuk a leghosszabb oldalra a közös csúcsból induló hajtásvonal mentén. Ekkor a papírlapnak lesz kétrétegű és egyrétegű része. Igazoljuk, hogy az egyrétegű rész egyenlő szárú háromszög alakú.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot!

A hajtogatás következtében APC\triangle\cong APC'\triangle. Ekkor CAP\angle=C'AP\angle, tehát a P pont az A csúcsból induló szögfelező és az a oldal metszéspontja.

Az egybevágóság miatt AC'=AC=8, így BC'=4.

A háromszög szögfelezőjének osztásarányáról szóló tétel szerint: \frac{BP}{PC}=\frac{12}{8}. Legyen BP=12x és PC=8x. Ekkor 12x+8x=10, amiből x=\frac12. Így PC=8\cdot\frac12=4, amivel egyenlő a PC' is.

Ezzel beláttuk, hogy PC'=BC'=4, azaz a C'PB háromszög (az egyrétegű rész) valóban egyenlő szárú.

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:110 versenyző.
4 pontot kapott:49 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:8 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai