A C. 989. feladat (2009. április)

C. 989. Egy gömb alakú testből ,,dobókockát'' készítünk hat egyforma gömbszelet levágásával olymódon, hogy a gömbszeletek helyén keletkező körlapok mindegyike érinti négy szomszédját. Hány százaléka a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás.

Messük el az ábrán látható testet egy, az ABFE síkkal párhuzamos és az E₁ ponton áthaladó síkkal. Ez a sík átmegy a gömb O középpontján. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az OTF₁ egyenlő szárú derékszögű háromszögből $TF_1=\frac{\sqrt2}{2}r$ , vagyis a hat körlap együttes területe:

$A_1=6\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}r\right)^2\pi.$

A hat (levágott) gömbsüveg magassága: $m=OM-OT=r-\frac{\sqrt2}{2}r=r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ . Így a hat gömbsüveg együttes felszíne:

$A_{6G}=6\cdot2\pi\cdot r\cdot r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).$

Innen a dobókocka felszíne:

$A_2=4r¢2\pi-6\cdot2\pi\cdot r^2\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).$

Végül a keresett arány (r² $\pi$ -vel egyszerűsítve):

$\frac{A_1}{A_1+A_2}=\frac{6\cdot\frac24}{6\cdot\frac24+4-6\cdot2\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)}=\frac{3}{6\sqrt2-5}\approx0,8608.$

Tehát kb. 86%-a a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének.

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 61 versenyző.

4 pontot kapott: 42 versenyző.

3 pontot kapott: 15 versenyző.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 12 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai

142 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?