 |
A G. 791. feladat (2022. október) |
G. 791. Zsonglőrködő elméleti fizikus a következő mutatványt találja ki. Egymás tetejére helyez \(\displaystyle n\) számú, tökéletesen rugalmas labdát, közöttük igen kicsiny résekkel. A labdatornyot kemény felületre ejti, ahová a labdák \(\displaystyle v\) sebességgel érkeznek meg. A sorozatos pillanatszerű ütközések után a legfelső labda kivételével minden lejjebb lévő labda megáll, a legfelső viszont \(\displaystyle nv\) sebességgel pattan fel. Bizonyítsuk be (például a teljes indukció módszerével), hogy ez a mutatvány akkor teljesülhet, ha a labdák tömege kielégíti a következő formulát:
\(\displaystyle m_k=\frac{2m_0}{k(1+k)}, \)
ahol \(\displaystyle m_0\) a legalsó labda tömege, valamint \(\displaystyle k=1, 2, 3, \dots, (n-1), n\).
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A megadott formula szerint a labdák tömege:
\(\displaystyle m_1=m_0,\quad m_2=\frac13 m_0,\quad \ldots\)
Tekintsük először az \(\displaystyle n=2\) esetet. Az alsó labda \(\displaystyle v_0\) sebességgel pattan fel a talajról, majd ütközik a lefelé \(\displaystyle v_0\) sebességgel mozgó felső labdával. Ha ezután az alsó labda megáll, a felső pedig \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel kezd el mozogni felfelé, akkor a tökéletesen rugalmas ütközés lendület- és energiamegmaradási törvénye szerint
\(\displaystyle -m_2 v_0+m_1v_0=m_2\cdot(2v_0),\)
illetve
\(\displaystyle \frac12 m_2v_0^2+\frac12 m_1v_0^2=\frac12 m_2(2v_0)^2.\)
Mindkét feltétel teljesül, ha
\(\displaystyle \frac{m_2}{m_1}=\frac13,\)
ami valóban fennáll, tehát \(\displaystyle n=2\)-re a mutatvány sikeres.
Tételezzük fel, hogy \(\displaystyle n-1\) labdával a mutatvány a leírt módon bemutatható, és vizsgáljuk meg, milyen tömegarány esetén lesz a mutatvány sikeres \(\displaystyle n\) labdával is. Ismét a megmaradási törvényeket írjuk fel:
\(\displaystyle -m_nv_0+m_{n-1}\cdot(n-1)v_0=m_n\cdot (nv_0),\)
valamint
\(\displaystyle \frac12 m_nv_0^2+\frac12 m_{n-1}(n-1)^2v_0^2=\frac12 m_n(nv_0)^2.\)
Mindkét feltétel teljesül, ha
\(\displaystyle m_n=\frac{n-1}{n+1}m_{n-1},\)
ami valóban fennáll, hiszen a megadott formula szerint
\(\displaystyle m_n= \frac{2m_0}{n(n+1)}\qquad\text{és}\qquad m_{n-1}= \frac{2m_0}{(n-1)n}.\)
Ezzel beláttuk, hogy a mutatvány – elvben – akárhány labdával sikeres lehet.
Megjegyzés. Túlságosan sok labda nyilván nem helyezhető el ,,pontosan'' egymás tetejére, így ha \(\displaystyle n\gg2\), a mutatvány a labdák oldalirányú szétrepülése miatt még a legügyesebb elméleti fizikusnak sem fog sikerülni.
Statisztika:
11 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Antal Áron, Bencze Mátyás, Nagy 639 Csenge, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Zhang Wenshuo Steve, Žigo Boglárka. 3 pontot kapott: Kovács Jakab. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai