A G. 849. feladat (2024. április)

G. 849. Milyen hosszú lenne a Földön egy nap, ha az Egyenlítőn súlytalanság lenne? Tételezzük fel, hogy a forgási időn kívül minden más paraméter változatlan.

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Akkor lenne súlytalanság az Egyenlítőn, ha ott kizárólag a gravitációs erő szolgáltatná az egyenletes körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást:

\(\displaystyle \gamma\frac{M}{R^2}=R\omega^2=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M\) a Föld tömege, \(\displaystyle R\) a Föld egyenlítői sugara, \(\displaystyle \omega\) a Föld szögsebessége és \(\displaystyle T\) a Föld forgásideje, vagyis a feladatban kérdéses nap hosszúsága:

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma M}}=5070\,\mathrm{s}=1,41\,\mathrm{h}.\)

Megjegyzések. 1. A \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás a Föld felszínén nem mindenhol pontosan ugyanakkora; a sarkokon \(\displaystyle g=9,83\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), míg az Egyenlítőn \(\displaystyle g=9,78\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Az eltérés oka kisebb részben a Föld lapultsága, nagyobb részben pedig a tengely körüli forgása. Közelítőleg mondhatjuk azt, hogy az Egyenlítőn a nehézségi gyorsulás a jól ismert \(\displaystyle g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) érték lenne, ha a Föld nem forogna (persze akkor nem is lenne egyenlítője a Földnek). A feladatot \(\displaystyle g\) segítségével így is megoldhatjuk:

\(\displaystyle g=R\omega^2=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

amiből

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=5070\,\mathrm{s}=1,41\,\mathrm{h}.\)

2. Az eredményül kapott \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\) kifejezés sok példából ismerős lehet. Például ennyi a Föld felszínéhez közel repülő műhold keringési ideje (ha nem lenne légellenállás), ennyi az egyenletes tömegeloszlásúnak képzelt Föld középpontján átmenő, egyenes, vákuumozott alagútba ejtett test harmonikus rezgőmozgásának periódusideje, stb.

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Barth Albert Krisztián, Blaskovics Bálint, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Field Márton, Gerlei Dániel, Görög Csanád Botond, He Stefan, Hollósi Dominik, Horváth 001 Botond , Horváth Kristóf Dominik, Kis Boglárka 08, Németh Ábel, Porcsin Gréta, Sárecz Bence, Szabó Márton, Tajta Sára, Varga 511 Vivien, Vértesi Janka, Vincze Anna, Vízhányó Janka, Wolf Erik.
2 pontot kapott:	Chen Yu, Papp Emese Petra, Sógor-Jász Soma.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai