 |
Az I. 512. feladat (2020. május) |
I. 512. A járványok az élővilág kialakulásával egyidősek. Az ilyen típusú populációbiológia rendszerek legtöbb átalakulása több egymás után következő lépésben megy végbe. Ezek a lépések tipikusan sorozatot alkotnak.
A járványterjedés modellezéséhez több-kevesebb paramétert vesznek figyelembe. Az egyik legegyszerűbb modellt, az SEIR-t vizsgáljuk meg táblázatkezelővel. Ebben a modellben a járványterjedés szempontjából négy csoportra osztjuk a populációt:
- \(\displaystyle S\) susceptible, azaz fogékonyak, még nem estek át a betegségen;
- \(\displaystyle E\) exposed, azaz lappangó, de még nem fertőző egyedek;
- \(\displaystyle I\) infectious, azaz fertőzöttek, betegek;
- \(\displaystyle R\) recovered, azaz gyógyultak.
Az osztályok közötti átalakulás: \(\displaystyle S \to E \to I \to R\).
Az emberek megfertőződnek és maguk is fertőzővé válnak, majd meggyógyulnak, vagy sajnos meghalnak. Az utóbbi tragédiával ez az egyszerű modell nem foglalkozik.
A betűk jelöljék, hogy hány egyed tartozik az egyes osztályokba. Vizsgáljuk meg, hogy az osztályok létszáma hogyan változik az időben néhány kezdeti paraméter mellett. Legyen a teljes populáció száma \(\displaystyle N\), így ekkor minden időpontban teljesül, hogy \(\displaystyle N=S+E+I+R\).
Egy új kórokozó esetén feltételezhetjük, hogy kezdetben a teljes populáció fogékony rá, azaz \(\displaystyle S\approx N\). Legyen
- \(\displaystyle \beta\) a kórokozó átadási valószínűsége egy fertőző és egy fogékony egyed között;
- \(\displaystyle \sigma\) a lappangók fertőzővé válásának sebessége;
- \(\displaystyle \gamma\) a betegek meggyógyulásának sebessége.
Ekkor a fogékony egyedek számának változása \(\displaystyle \Delta S=-\beta \cdot \frac{I}{N} \cdot S\), ahol az \(\displaystyle \frac{I}{N}\) hányados a fertőzöttek aránya a teljes populációhoz képest. Minél nagyobb ez az érték, annál gyorsabb a járvány terjedése.
A lappangó esetek száma éppen ennyivel növekszik, miközben egy részük beteggé válik:
\(\displaystyle \Delta E=\beta \cdot \frac{I}{N}\cdot S-\sigma \cdot E. \)
A fertőzöttek száma \(\displaystyle \sigma \cdot \)E-vel növekszik, és a meggyógyulókkal csökken:
\(\displaystyle \Delta I=\sigma \cdot E-\gamma \cdot I. \)
A gyógyultak számának változása
\(\displaystyle \Delta R=\gamma \cdot I. \)
Szimuláljuk a járvány kialakulását időegységenként (naponta). Minden lépésben számítsuk ki a jelenlegi adatok alapján a változásokat, majd a következő napon a megváltozott értékekkel dolgozzunk:
$$\begin{align*} S(n+1) & \leftarrow S(n)+\Delta S(n), &&& E(n+1)&\leftarrow E(n)+\Delta E(n),\\ I(n+1) & \leftarrow I(n)+\Delta I(n) & \text{és}&& R(n+1)&\leftarrow R(n)+\Delta R(n). \end{align*}$$A szimulációt legalább 150 napra végezzük el az alábbiak szerint:
- Az induló paramétereket a táblázat első néhány sorában lehessen megadni, helyüket feliratokkal jelezzük. Példaként \(\displaystyle N=10\,000\,000\); \(\displaystyle \beta =0{,}9\); \(\displaystyle \sigma =0{,}1\); \(\displaystyle {\gamma =0{,}2}\).
- Határozzuk meg a táblázat két cellájában, hogy hányadik nap lesz a fertőző betegek száma maximális és mekkora ez az érték.
- Ábrázoljuk az \(\displaystyle S\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle I\), \(\displaystyle R\) osztályok létszámát az idő függvényében. A diagram értelmezését feliratokkal segítsük.
Beküldendő egy tömörített i512.zip állományban a munkafüzet, valamint egy rövid dokumentáció, amelyből kiderül az alkalmazott táblázatkezelő neve és verziószáma.
(10 pont)
A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.
Mintamegoldásként Mócsy Mátyás budapesti, 10-edik osztályos versenyző (i512mm.xlsx), és Endrész Balázs pápai, 12-edik osztály diák munkáját adjuk közre (i512eb.xlsx).
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 10 pontot kapott: Csahók Mihály, Endrész Balázs, Horcsin Bálint, Mócsy Mátyás, Nagy 793 Márton, Szabó Barbara Noémi, Ürmössy Dorottya, Vörös 314 László.
A KöMaL 2020. májusi informatika feladatai