A K/C. 698. feladat (2021. szeptember)

K/C. 698. Dorka gondolt egy egész számra, amely legalább 3 és legfeljebb 25. Anna megadott egy \(\displaystyle x\) egyjegyű páros számot, majd megkérdezte Dorkát, hogy a gondolt szám négyzetszám-e, prím-e, illetve \(\displaystyle x\) többszöröse-e. Dorka azt válaszolta, hogy ha megmondaná a választ az egyes kérdésekre, akkor Anna már egyértelműen tudná, hogy melyik számra gondolt. Melyik számra gondolt Dorka?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk Venn-diagramot. Az első két halmaz elemeit (\(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 25\) közötti négyzetszámok, illetve prímszámok halmaza) beírhatjuk. Azt tudjuk, hogy a harmadik halmaz (\(\displaystyle x\) \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 25\) közé eső többszöröseinek halmaza) elemeinek beírása után keletkeznie kell olyan résznek (vagy akár többnek is), amelyben csak egyetlen szám áll, hiszen pont ez jelenti azt, hogy Dorka adhat olyan válaszokat Annának, amiből ő egyértelműen tudja azonosítani a gondolt számot.

Ha \(\displaystyle x = 2\) vagy \(\displaystyle 4\), akkor a prímszámokkal vett metszet üres, a négyzetszámokkal vett metszetben két szám van (\(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle 16\)), a két halmazon kívüli elemek között szintén legalább \(\displaystyle 2\) szám van (pl. \(\displaystyle 8\) és \(\displaystyle 12\)), tehát ezeket nem választhatta Anna.

Ha \(\displaystyle x = 6\), akkor a prímszámokkal vett metszet üres, a négyzetszámokkal vett metszet is üres, a két halmazon kívüli elemek között viszont három darab \(\displaystyle 6\)-tal osztható szám is van, tehát ezt sem választhatta Anna.

Ha \(\displaystyle x = 8\), akkor a prímszámokkal vett metszet üres, és pontosan egy \(\displaystyle 8\)-cal osztható négyzetszám van a másik halmazban, a \(\displaystyle 16\).

Mivel más lehetőség nincs \(\displaystyle x\)-re, így Dorka a \(\displaystyle 16\)-ra gondolt.

Statisztika:

281 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	153 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai