 |
A K/C. 707. feladat (2021. november) |
K/C. 707. Néhány (legalább kettő) gyerek körbeáll, és ,,kiesős'' játékot játszik. Ebben a játékban a kezdő játékostól kezdve minden második gyerek kiesik, és kiáll a körből, az utolsóként bent maradó játékos győz. Például, ha hatan játszanak (A, B, C, D, E, F) és A kezd, akkor B, D, F, C, A sorrendben állnak ki, így E a győztes. Hány gyerek esetén lehet győztes a kezdő játékos?
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
| Hány gyerek van: | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Kiesési sorrend (a végén a győztessel): | B, A | B, A, C | B, D, C, A | B, D, A, E, C | B, D, F, C, A, E |
| Hány gyerek van: | 7 | 8 | 9 |
| Kiesési sorrend (a végén a győztessel): | B, D, F, A, E, C, G | B, D, F, H, C, G, E, A | B, D, F, H, A, E, I, G, C |
Eddig úgy tűnik, az első (A) akkor győzhet, ha a gyerekek száma 2, 4 vagy 8. Azt sejtjük, hogy az első (A) akkor győzhet, ha a gyerekek száma kettő hatvány. Ha a gyerekek száma kettő hatvány, akkor azért nyer az első (A), mert az első körben kiesik minden páros sorszámú gyerek (a gyerekek fele), tehát A játékban marad úgy, hogy ismét ő az első játékos. A gyerekek száma ekkor a kezdeti létszám fele, azaz ismét kettő hatvány. A következő kör(ök)ben hasonlóan történik minden, mint eddig és végül 2 gyerek marad, akik közül A az első, így ő lesz a győztes.
Ha a gyerekek száma nem kettő hatvány, akkor nem nyerhet az első (A). Ha kiesik néhány gyerek úgy, hogy a megmaradó gyerekek száma már kettő hatvány lesz, akkor az a gyerek fog győzni, aki az utolsó kieső után jön közvetlenül és ez a gyerek A nem lehet. Például, ha 13 gyerek van, akkor az első 5 kieső (B, D, F, H, J) után megmarad 8 gyerek és a J utáni játékos, K lesz a győztes.
Statisztika:
232 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 117 versenyző. 4 pontot kapott: 31 versenyző. 3 pontot kapott: 22 versenyző. 2 pontot kapott: 20 versenyző. 1 pontot kapott: 18 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai