A K/C. 733. feladat (2022. szeptember)

K/C. 733. Mekkora a területe annak a legkisebb téglalapnak, amelybe beleírható egy olyan paralelogramma, amelynek egyik szöge \(\displaystyle 60^{\circ}\), egy-egy oldala 4 cm és 6 cm hosszú és két oldala a téglalap két oldalára illeszkedik?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Két eset lehetséges, az elsőnél a téglalap egy-egy oldala a paralelogramma rövidebb olalaira illeszkedik, ebben az esetben a \(\displaystyle DG\) magasság egy \(\displaystyle 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\)-os háromszöget vág le a paralelogrammából, így az \(\displaystyle AGH\) egyenlő oldalú háromszög, azaz \(\displaystyle AG = 3\) cm, \(\displaystyle AD = 6\) cm, ezért \(\displaystyle DG = 3\sqrt3\) cm, a téglalap területe \(\displaystyle (3 + 4) \cdot 3\sqrt3 = 21\sqrt3 \textrm{ cm}^2\).

A második esetben a téglalap egy-egy oldala a paralelogramma hosszabb oldalaira illeszkedik, ebben az esetben a \(\displaystyle DL\) magasság szintén egy \(\displaystyle 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\)-os háromszöget vág le a paralelogrammából, most az \(\displaystyle NLC\) egyenlő oldalú háromszög, azaz \(\displaystyle LC = 2\) cm, \(\displaystyle DC = 4\) cm, ezért \(\displaystyle DL = 2\sqrt3\) cm, a téglalap területe \(\displaystyle (6 + 2) \cdot 2\sqrt3 = 16\sqrt3 \textrm{ cm}^2\).

A második esetben kisebb a téglalap területe, ami ekkor \(\displaystyle 16\sqrt3 \textrm{ cm}^2\).

Statisztika:

311 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	91 versenyző.
4 pontot kapott:	41 versenyző.
3 pontot kapott:	79 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	29 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai