 |
A K/C. 772. feladat (2023. május) |
K/C. 772. Hány olyan négyjegyű, tízes számrendszerbeli természetes szám van, amelynek első három számjegye (a magasabb helyiértéktől az alacsonyabb felé haladva) különböző, mind a négy számjegye prímszám, de a négyjegyű szám nem osztható egyik számjegyével sem?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek alapján a négyjegyű szám számjegyei \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\) lehetnek.
A négyjegyű szám utolsó számjegye nem lehet sem 2, sem 5, mert akkor a szám osztható lenne 2-vel, illetve 5-tel, és ez ellenkezne a feladat feltételével. Ebből az következik, hogy az utolsó számjegy csak 3 vagy 7 lehet.
Mivel az első három számjegy különböző, ezért ezek csak a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\) vagy a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\) számhármasok közül kerülhetnek ki.
Tegyük fel most, hogy az utolsó számjegy a 3-as.
Ekkor a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) és a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) számnégyesek semmilyen sorrendben nem felelnek meg a feltételeknek, mert az ezekből a jegyekből képzett négyjegyű számokban a számjegyek összege osztható 3-mal, ezért az ilyen négyjegyű számok maguk is oszthatók 3-mal.
Tekintsük tehát a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) számnégyeseket.
Ezekből a feladat minden feltételét kielégítő módon összesen 12 darab olyan, 3-ra végződő négyjegyű szám képezhető, amelyek 7-tel sem oszthatók:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 2353;\quad 2533;\quad 3253;\quad 3523;\quad 5233;\quad 5323;\quad 2573;\quad 2753;\quad 5273;\quad 5723;\quad 7253;\quad 7523.\) |
Ha az utolsó számjegy a 7-es, akkor a \(\displaystyle 2,5,7,7\) számnégyes összes sorrendjének megfelelő számot meg kell vizsgálnunk, mert ezek mind oszthatók 3-mal, de mivel a 3-as nem szerepel a számjegyek között, ezért a 3-mal való oszthatóság nem lehet kizáró ok.
Számolással ellenőrizhetjük, hogy a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 7\) számnégyesből képzett 6 darab, 7-re végződő négyjegyű számból mindegyik eleget tesz a feltételnek, mert összetett számok, de nem oszthatók sem 2-vel, sem 5-tel, sem 7-tel.
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 2577;\quad 2757;\quad 5277;\quad 5727;\quad 7257\quad 7527.\) |
Vizsgáljuk a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 7\) és \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 7\) számnégyeseket. Más számnégyest nem kell vizsgálni a 7-re végződő esetben, hiszen az első három számjegy különböző kell legyen.
Ezekből a számnégyesekből összesen 18 darab 7-re végződő négyjegyű szám képezhető:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 2357,\quad 2537,\quad 3257,\quad 3527,\quad 5237,\quad 5327;\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle 2377,\quad 2737,\quad 3277,\quad 3727,\quad 7237,\quad 7327;\) |
valamint
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle 3577,\quad 3757,\quad 5377,\quad 5737,\quad 7357,\quad 7537.\) |
A (3)-(4)-(5)-ben szereplő számok közül négy nem felel meg a feltételnek, mert
\(\displaystyle 5327=7\cdot 761,\quad 2737=7\cdot 391,\quad 3577=7\cdot 511,\quad 7357=7\cdot 1051.\)
A feltételeknek megfelelő 3-ra végződő négyjegyűek száma tehát 12, míg a 7-re végződőek száma 20, ezért összesen 32 megfelelő tízes számrendszerbeli négyjegyű szám létezik.
Megjegyzések. 1) Egyszerű számolással ellenőrizhető a feladat azon érdekessége, hogy a feltételeknek megfelelő 32 darab négyjegyű szám között pontosan 16 prímszám van.
2) Az (1)-ben szereplő, 7-es számjegyet nem tartalmazó számok esetében a feladat feltétele megengedné, hogy oszthatók legyenek 7-tel, de számolással könnyen ellenőrizhető, hogy a 7 nem osztója egyiknek sem.
Statisztika:
A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai