 |
A K/C. 773. feladat (2023. május) |
K/C. 773. Létezik-e olyan derékszögű háromszög, amelyre az oldalak számértéke egész szám, pontosan két oldalának a hossza prímszám és a területének számértéke is prímszám?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a feladatban szereplő derékszögű háromszög két befogója \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) \(\displaystyle (a\leq b)\), átfogója \(\displaystyle c\). A háromszög területe a feltétel szerint prím: \(\displaystyle T=\frac{a\cdot b}{2}=p\), ezért \(\displaystyle a \cdot b=2p\), ahol a \(\displaystyle p\) prímszámot jelöl. Ez csak úgy lehetséges, hogy \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=2p\), vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=p\). Az előbbi esetben se \(\displaystyle a\), se \(\displaystyle b\) nem prím, tehát a feladat egyik feltétele nem teljesül. Ha az \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=p\) esetre felírjuk a Pitagorasz-tételt, akkor azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p^2+4=c^2\), vagyis \(\displaystyle 4=(c-p)(c+p)\). Ekkor két lehetőség van:
- \(\displaystyle c-p=1\), \(\displaystyle c+p=4\), tehát \(\displaystyle c=2,5\), így \(\displaystyle c\) nem egész;
- \(\displaystyle c-p=2\), \(\displaystyle c+p=2\), tehát \(\displaystyle c=2\), \(\displaystyle p=0\).
A fentiek alapján nem létezik a kérdésben szereplő feltételeknek megfelelő háromszög.
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai