Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K/C. 802. feladat (2024. február)

K/C. 802. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle CD\) oldalának tetszőleges belső pontja \(\displaystyle Q\). Az \(\displaystyle AQ\) egyenesre állítsunk merőlegest a \(\displaystyle B\) csúcsból, legyen ennek \(\displaystyle AQ\)-val vett metszéspontja \(\displaystyle P\). Legyen továbbá a négyzet átlóinak metszéspontja \(\displaystyle K\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PK\) egyenes felezi a \(\displaystyle QPB\) szöget.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A négyzet átlóinak \(\displaystyle K\) metszéspontja a négyzet szimmetriaközéppontja. Mivel \(\displaystyle Q\) a \(\displaystyle CD\) oldal belső pontja, ezért \(\displaystyle AQ\) biztosan nem megy át a \(\displaystyle K\) ponton, emiatt \(\displaystyle K\) nem illeszkedik a \(\displaystyle BP\) egyenesre sem. Tükrözzük az \(\displaystyle AQ\) és \(\displaystyle BP\) egyeneseket a \(\displaystyle K\) pontra. Tekintsük a következő ábrát, amelyen az \(\displaystyle AQ\) egyenesnek a \(\displaystyle BP\) egyenes tükörképével való metszéspontját \(\displaystyle R\)-rel, a \(\displaystyle BP\) egyenesnek a \(\displaystyle DA\)-val való metszéspontját \(\displaystyle S\)-sel, a megfelelő tükörképpontokat vesszővel jelöltük.

Mivel \(\displaystyle K\) nem illeszkedik az \(\displaystyle AQ\) egyenesre, ezért \(\displaystyle AQ\parallel CQ'\), hiszen \(\displaystyle A\) tükörképe \(\displaystyle C\). Hasonlóképpen a \(\displaystyle BS\) egyenesre sem illeszkedik \(\displaystyle K\), így \(\displaystyle BS\parallel DS'\), mivel \(\displaystyle B\)-nek \(\displaystyle K\)-ra vonatkozó tükörképe \(\displaystyle D\). Ez az \(\displaystyle APB\sphericalangle=90^{\circ}\) miatt azt jelenti, hogy a \(\displaystyle PR'P'R\) négyszög szögei derékszögek, tehát téglalap. Bizonyítani fogjuk, hogy \(\displaystyle PR'P'R\) négyzet.

A \(\displaystyle BSA\) és \(\displaystyle AQD\) derékszögű háromszögek egybevágók, mert \(\displaystyle ABS\sphericalangle\) és \(\displaystyle QAD\sphericalangle\) merőleges szárú hegyesszögek és így \(\displaystyle ASB\sphericalangle=AQD\sphericalangle\) is igaz, másrészt a megfelelő szögekkel szemközti \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DA\) oldalak hossza egyenlő.

Ez azt is jelenti, hogy \(\displaystyle AS=DQ\) és ezért \(\displaystyle DS=CQ\). Az \(\displaystyle AQCQ'\) és \(\displaystyle DSBS'\) négyszögek a tükrözés miatt paralelogrammák, szögeik \(\displaystyle ASB\sphericalangle=AQD\sphericalangle\) miatt egyenlők, így \(\displaystyle DS=CQ\), illetve \(\displaystyle BS=AQ\) miatt a paralelogrammák egybevágók is. Eszerint az \(\displaystyle AQCQ'\) paralelogrammának az \(\displaystyle AQ\) oldalhoz tartozó magassága ugyanolyan hosszú, mint a \(\displaystyle DSBS'\) paralelogramma \(\displaystyle BS\) oldalához tartozó magassága, vagyis

\(\displaystyle PR'=PR,\)

ez éppen azt jelenti, hogy a \(\displaystyle PR'P'R\) téglalap négyzet, amelynek szimmetriaközéppontja \(\displaystyle K\). Ebből azonnal következik, hogy \(\displaystyle PK\) felezi a \(\displaystyle QPB\) derékszöget.


Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Beinschroth Máté, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Csáki Anikó, Danka Emma, Derűs Ádám , Domján István, Farkas Frida, Farkas Simon, Fülöp Magdaléna, Gyulai Dorka, Hajnal Ákos Huba, Halmosi Dávid, Hetyei Dániel, Hodossy-Takács Ráhel, Hollósi Dominik, Horvath Benedek, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kovács Dániel, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Mateas Isabelle, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Móricz Zsombor, Olajos Anna, Ördög Dominik, Pázmándi Renáta , Pulka Gergely Tamás, Rasztgyörgy Jázmin, Sipos Dániel Sándor, Sipos Márton, Szabó 926 Bálint, Szabó András, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Timár Vince , Tóth 207 Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos, Válek Péter, Varga 511 Vivien.
4 pontot kapott:16 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:22 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai