A K/C. 812. feladat (2024. április)

K/C. 812. A \(\displaystyle 2024\)-nek pontosan egy olyan számjegye van (nevezetesen a 0), amely minden számjegyének többszöröse. Hány olyan négyjegyű, pozitív egész szám van, amelynek legalább két ilyen számjegye van?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert tétel, hogy ha \(\displaystyle a\) osztója \(\displaystyle b\)-nek és \(\displaystyle b\) osztója \(\displaystyle a\)-nak, akkor \(\displaystyle a=b\), ezért nem lehet a szám összes számjegye különböző, azaz vannak benne azonos számjegyek. Az azonos számjegyek száma alapján esetvizsgálatot végzünk.

1. eset. Ha mind a négy számjegy megegyezik, akkor mindegyik mindegyiknek többszöröse, azaz minden ilyen négyjegyű szám megfelelő. Ez \(\displaystyle 9\) darab számot jelent.

2. eset. Ha pontosan három egyforma számjegye van a számnak, akkor azok több­szörösei egymásnak, valamint a negyedik számjegynek is többszörösei kell hogy legyenek.

Három \(\displaystyle 0\) mellé bármelyik másik számjegyet választhatjuk első számjegynek, ez \(\displaystyle 9\) négyjegyű számot eredményez.

Három \(\displaystyle 1\)-es mellé nem lehet eltérő számjegyet írni.

Ha a három egyforma szám­jegy prímszám, akkor melléjük kizárólag az egyest választhatjuk, amelyet bármelyik helyiértékre írhatunk, így minden prím számjegy esetén \(\displaystyle 4\) megfelelő számot kapunk. Mivel \(\displaystyle 4\) darab \(\displaystyle 10\)-nél kisebb pozitív prímszám van, ezért \(\displaystyle 4 \cdot 4=16\) ilyen szám van.

Ha a három, \(\displaystyle 0\)-nál nagyobb egyforma számjegy összetett szám, akkor a nála kisebb pozitív osztók megfelelnek a feltételeknek. Három darab \(\displaystyle 4\)-es mellé választhatunk \(\displaystyle 1\)-est vagy \(\displaystyle 2\)-est, ezek bármelyik helyiértékre kerülhetnek, így \(\displaystyle 2 \cdot 4=8\) megfelelő szám van. A \(\displaystyle 6\)-osok mellé az \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 2\); \(\displaystyle 3\) bármelyike kerülhet, ez \(\displaystyle 3 \cdot 4=12\) négyjegyű számot jelent. A \(\displaystyle 8\)-asok mellé az \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle 2\); \(\displaystyle 4\) valamelyike kerülhet, ez szintén \(\displaystyle 3 \cdot 4=12\) négyjegyű számot jelent. A \(\displaystyle 9\)-esek mellé az \(\displaystyle 1\) vagy a \(\displaystyle 3\) kerülhet, ez \(\displaystyle 2 \cdot 4=8\) négyjegyű számot jelent.

Összesen \(\displaystyle 9+16+8+12+12+8=65\) ilyen szám van.

3. eset. Most vizsgáljuk azokat a számokat, amelyeknek \(\displaystyle 2-2\) egyforma számjegyük van.

Két darab \(\displaystyle 0\) mellé bármelyik \(\displaystyle 0\)-tól különböző számjegyet választhatjuk a másik két számjegynek. Az egyik biztosan az első számjegy, a másik \(\displaystyle 3\)-féleképpen helyezkedhet el, így \(\displaystyle 9 \cdot 3=27\) darab ilyen szám van.

Két darab \(\displaystyle 1\)-es \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen helyezkedhet el és melléjük bármelyik \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb számjegyet választhatjuk (hiszen a két \(\displaystyle 0\)-t tartalmazókat már előzőleg megszámoltuk). Ez \(\displaystyle 6 \cdot 8=48\) darab szám.

Két \(\displaystyle 2\)-es mellé \(\displaystyle 4\)-esek, \(\displaystyle 6\)-osok vagy \(\displaystyle 8\)-asok kerülhetnek, ez \(\displaystyle 6 \cdot 3=18\) szám. Ha két darab \(\displaystyle 3\)-ast tartalmaz a szám, akkor mellettük \(\displaystyle 6\)-osok, vagy \(\displaystyle 9\)-esek lehetnek, így \(\displaystyle 6 \cdot 2=12\) ilyen szám van.

Két darab \(\displaystyle 4\)-es mellé pedig csak két darab \(\displaystyle 8\)-as kerülhet, mert a \(\displaystyle 4\)-nél kisebb számjegyek már előzőleg megszámlálásra kerültek, így ez még \(\displaystyle 6\) darab számot jelent.

Összesen \(\displaystyle 27+48+18+12+6=111\) darab ilyen szám van.

4. eset. Végül azt a lehetőséget vizsgáljuk, amikor pontosan két egyforma számjegy van, a másik kettő pedig egymástól és a két egyformától is különbözik. A két egyforma számjegy csak olyan szám lehet, amelynek \(\displaystyle 2\)-nél több pozitív osztója van, azaz \(\displaystyle 0\); \(\displaystyle 4\); \(\displaystyle 6\) vagy \(\displaystyle 9\).

Ha két \(\displaystyle 0\) van, akkor azok az utolsó három helyiértéken \(\displaystyle 3\)-féleképpen helyezkedhetnek el. Ekkor az első számjegy bármelyik nemnulla számjegy lehet, a másik pedig bármelyik tőle különböző számjegy. Ilyen számból \(\displaystyle 3 \cdot 9 \cdot 8=216\) darab van.

Ha két \(\displaystyle 4\)-es van, akkor azok \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen helyezkedhetnek el, mellettük csak egy \(\displaystyle 2\)-es és egy \(\displaystyle 1\)-es lehet a maradék két helyen kétféle sorrendben, így \(\displaystyle 6 \cdot 2=12\) ilyen számot találtunk.

Ugyanez igaz a két \(\displaystyle 9\)-esre, hiszen melléjük egy \(\displaystyle 3\)-as és egy \(\displaystyle 1\)-es kerülhet, ez még \(\displaystyle 12\) darab megfelelő szám.

Két darab \(\displaystyle 6\)-os mellett \(\displaystyle 1\)-es és \(\displaystyle 2\)-es; vagy \(\displaystyle 1\)-es és \(\displaystyle 3\)-as; vagy \(\displaystyle 2\)-es és \(\displaystyle 3\)-as lehet bármilyen sorrendben, így ilyen számból \(\displaystyle 3 \cdot 6 \cdot 2=36\) van.

Ha pedig két \(\displaystyle 8\)-as van, akkor mellettük \(\displaystyle 1\)-es, \(\displaystyle 2\)-es; vagy \(\displaystyle 1\)-es, \(\displaystyle 4\)-es; vagy \(\displaystyle 2\)-es és \(\displaystyle 4\)-es szerepelhet bármilyen sorrendben, ami szintén \(\displaystyle 36\) darab szám.

Ebben az esetben \(\displaystyle 216+12+12+36+36=312\) számot találtunk.

Több eset nincs, így a feltételeknek megfelelő pozitív, négyjegyű számból összesen \(\displaystyle 9+65+111+312=497\) darab van.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Domján István, Farkas Noémi , Fülöp Magdaléna, Gyöngyösi Dorottya, Gyulai Dorka, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Juhász Zsombor, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Magyar Levente Árpád, Mateas Isabelle, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Móricz Zsombor, Nelissen Sámuel Zalán, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Rasztgyörgy Jázmin, Szabó András, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Timár Vince , Tóth 207 Bence, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos.
4 pontot kapott:	Ai Le, Danka Emma, Derűs Ádám , Kóródy Vera, Kökény Kristóf, Kun Petra, Szabó 926 Bálint, Viczián Adél.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	26 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai