 |
A K. 105. feladat (2006. december) |
K. 105. Egy énekeskönyvben 700 ének van, 1-től 700-ig sorszámozva. Minden vasárnap ebből énekelnek egyet, melynek sorszámát kis fakockákból összerakva jelölik ki. (Az egyjegyű és kétjegyű sorszámokat 0-val kezdve rakják ki, pl. a 3-at 003, a 28-at 028 alakban.) A fakockák oldalain egy-egy számjegy van, és a 6-ost 9-esnek is fel lehet használni.
a) Hány fakockát kell készíteni, hogy minden lehetséges sorszámot ki lehessen rakni? Tervezzünk is meg egy ilyen készletet.
b) Hány éneket vehetnénk még bele az énekeskönyvbe, anélkül, hogy újabb kockát kelljen készítenünk?
(6 pont)
A beküldési határidő 2007. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Legalább két helyen kell szerepelnie a következő számjegyeknek: 0, 7 és 8 (pl. a 100, 177 és 188 számok miatt). Legalább három helyen pedig a maradék számjegyeknek: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a 111, 222 stb. számok miatt). Ez összesen legalább 3.2+6.3=24 hely, és mivel egy kockán 6 hely van, ezért legalább 24/6=4 kocka szükséges.
Ha 4 kockával szeretnénk megoldani, akkor a következőkre kell figyelnünk:
1. Nem kerülhet egy kockára ugyanaz a számjegy többször, mert akkor a három egyforma számjegyből álló megfelelő számot nem tudjuk kirakni. Vagyis minden kockán hat különböző számjegy áll.
2. Két kockán is szerepel a 0 és a 7 együtt, mert ekkor a 007 nem rakható ki.
3. Két kockán is szerepel a 0 és a 8 együtt, mert ekkor a 008 nem rakható ki.
Például a következő négy kocka teljesíti a fenti három feltételt:
1. kocka: 0, 1, 2, 3, 4, 6;
2. kocka: 1, 2, 4, 5, 7, 8;
3. kocka: 1, 2, 3, 5, 6, 8;
4. kocka: 0, 3, 4, 5, 6, 7.
Ezekből valóban kirakható az összes szám 1-700-ig:
Ha csak az 1-6-ig (a 9-et is ideértve) terjedő számjegyekből áll a szám, akkor tetszőleges sorrendben ki tudjuk választani a megfelelő kockákat, hiszen mindegyik számjegy három kockán szerepel.
Ha a számban nem csak 1-6-ig terjedő sszámjegy van, hanem szerepel benne egy vagy két számjegy a 0, 7 és 8 közül, akkor először azokhoz választunk kockát, és utoljára ahhoz a számjegyhez, ami három kockán szerepel.
Ha csak a 0, 7 és 8 számjegyekből áll, akkor a 2. és a 3. feltétel miatt a két egyforma számjegyet tartalmazó számokat elő tudjuk állítani. A maradék két számot: a 078-at és a 087-et szintén.
b) 777 nem rakható ki. A nála kisebb számok - abc - mindegyike tartalmaz 7-nél kisebb számjegyet, legyen ez mondjuk b. Ekkor a bac szám kisebb 700-nál, tehát kirakható, és így az abc szám is.
Értékelés. A feladat elég nehézre sikeredett. 2 pont annak indoklásáért járt, hogy legalább négy kockára szükség van. További 2 pontot az kapott, aki megadott egy megfelelő készletet. Ha ez a készlet jó volt, és a b) részre is választ adott a megoldás, az még további 2 pontot jelentett.
Statisztika:
164 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 56 versenyző. 5 pontot kapott: 9 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 25 versenyző. 2 pontot kapott: 33 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai