A K. 116. feladat (2007. február)

K. 116. Készítsünk egy pakli francia kártya lapjaiból 3×3-as bűvös négyzeteket (a bűvös négyzet mezőiben egy-egy kártyalap áll). A számozott lapok annyit érnek, amennyi rájuk van írva; a bubi értéke 11, a dámáé 12, a királyé 13, az ászé 1. A bűvös négyzetben egy-egy oszlopban, sorban, valamint átlóban álló három szám összege mindig ugyanannyi - ezt az összeget nevezzük ,,bűvös szám''-nak.

a) Mi a lehető legnagyobb bűvös szám, amit el lehet érni, ha csak 9 darab treffet használhatunk fel?

b) Lehet-e 37 a bűvös szám, ha bármelyik 9 lapot felhasználhatjuk?

(6 pont)

A beküldési határidő 2007. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. a) A lehető legnagyobb bűvös szám akkor keletkezhet, ha a treff színűek közül a legnagyobb értékű lapokat használjuk fel. Ha a bűvös négyzetben szereplő számokat összeadjuk, akkor a bűvös szám háromszorosát kapjuk. Jelen esetben ez 13+12+11+10+9+8+7+6+5 = 81, tehát a legnagyobb lehetséges bűvös szám a 27. Meg kell még mutatni, hogy ez a bűvös négyzet tényleg létezik is:

10 J 6

5 9 K

Q 7 8

b) A lehető legnagyobb bűvös szám akkor keletkezne, ha a 9 legnagyobb értékű lapot használnánk fel, azaz 4 királyt, 4 dámát és egy bubit. Ekkor a lapok pontértékének összege 111, a bűvös szám 37 lenne. Tehát csak a 4 király, 4 dáma, 1 bubi összetételű bűvös négyzet jöhet szóba. Azonban ez a bűvös négyzet nem megvalósítható. A bubi mellé két király kell, hogy a 37 bűvös számként kijöjjön. A bubi nem állhat egyik átlóban sem, mert akkor vele egy oszlopban, sorban és átlóban is két-két király állna (ezek mind különbözők lennének), és ennyi király nincs. Ha viszont a bubi a négyzet egyik oldalának közepén áll, és a sorokban és oszlopokban 37 az összeg (lásd ábra), akkor egyik átlóban sem jön ki a bűvös szám.

K J K

Q K Q

Q K Q

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Dávid Nikolett, Kiss Dávid, Kovács 729 Gergely, Mihálka Éva Zsuzsanna, Pasztuhov Anna, Straubinger Péter.
5 pontot kapott:	Csere Kálmán, Garamszegi Balázs, Gerencsér András, Major Bálint István, Najbauer Eszter Éva, Poócza Eszter, Welsz Edit.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	27 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2007. februári matematika feladatai