 |
A K. 125. feladat (2007. március) |
K. 125. Sebi és Vince fa építőelemekből tornyokat készítettek. Mindketten egyforma négyzet alapú hasábokból építkeztek, Sebi az építőelemeket a kisebb felületű lapjaik mentén rakta egymásra, míg Vince a nagyobb felületű oldalakat illesztette egymáshoz. Sebi négy elemből álló tornya pont ugyanolyan magasra sikerült, mint Vince hat elemű építménye. Milyen magasak a tornyok, ha az alapterületük összege 160 cm2?
(6 pont)
A beküldési határidő 2007. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás: Legyen a hasáb négyzet alapjának oldala a, a hasáb magasságának hossza b.
Ha a<b, akkor a2<ab, tehát a hasáb alapjának területe kisebb, mint a hasáb oldallapjának területe. Így a kisebb területű lapoknál négy hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 4b, a nagyobb területű oldallapoknál hat hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 6a.
Mivel az alapterületek összege a2+ab=160, és a két torony egyforma magas, ezért 4b=6a. Az egyenletrendszer megoldása a=8, b=12, így a tornyok magassága 48 cm.
Ha a>b, akkor a2>ab, tehát a hasáb alapjának területe nagyobb, mint a hasáb oldallapjának területe. Így a kisebb területű lapoknál négy hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 4a, a nagyobb területű lapoknál hat hasábot egymásra rakva a kialakuló alakzat magassága 6b.
A most kapott egyenletrendszer a2+ab=160, és 4a=6b. Az egyenletrendszer megoldása ,
, s ekkor a tornyok magassága
cm.
Statisztika:
114 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bellovicz Lilla, Boros 001 Ágnes, Fialowski Melinda, Gerlei Klára Zsófia, Konczi Anita, Lajtai Krisztina, Losonczki Tamás, Mező Zsófia, Németh-Csóka Mihály, Pálinkó Márton, Pasztuhov Anna, Poócza Eszter, Szeifert Bea, Tancsics Borbála, Tóth 004 Tamás, Tóth Barbara, Túri Attila, Vesztergombi Júlia. 5 pontot kapott: Árva Gergő, Kitzinger Andor, Ölvedi Balázs. 4 pontot kapott: 68 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat.
A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai