A K. 126. feladat (2007. március)

K. 126. Az unatkozó szultán palotájában ezer szoba van. Mindegyik szobában van egy villanykapcsoló, mellyel az abban a szobában levő összes lámpát egyszerre lehet le- vagy felkapcsolni. Egyik reggel, amikor minden szobában égtek a lámpák, az unatkozó szultán elindult egy kis sétaútra. Az 1000 szobát végigjárta egyesével, majd újra és újra megtette ezt, mindig az első szobától kezdve a sétát. A kirándulás során először minden szobában kapcsolt egyet a villanykapcsolón (tehát ha fel volt kapcsolva, akkor lekapcsolta, ha le volt kapcsolva, akkor felkapcsolta), majd a sétát újrakezdve minden második szobában kapcsolt a kapcsolón, aztán ismét újrakezdve a sétát minden harmadik szobában, és így tovább. Az 500. kör után azonban elunta ezt a játékot, és elment aludni. Olyan szobát akart kiválasztani, melyben nem égnek a lámpák. Mely szobák közül választhatott?

Javasolta: Bohner Géza (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2007. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Az 500-as és alatta levő sorszámú szobák közül azokban a szobákban nem égnek a lámpák, amelyek sorszámának páratlan számú osztója van, hiszen minden osztójánál kapcsolt egyet a szultán a kapcsolón, és páratlan számú kapcsolás vezet sötéthez. Páratlan számú osztója a négyzetszámoknak van, ezért az 500 vagy alatta levő sorszámú szobák közül a négyzetszám sorszámúakban van sötét. Az 500 feletti sorszámú szobák esetén azonban az utolsó kapcsolás hiányzik ehhez képest, hiszen minden számnak osztója önmaga, de ezt már az osztók közül a kapcsolgatásnál nem vettük figyelembe. Tehát az 500 feletti sorszámú szobák közül azok lesznek sötétek, melyeknek páros számú osztója van, azaz nem négyzetszámok. Tehát sötét szobák 500 alatt a négyzetszám sorszámúak, 500 felett pedig a nem négyzetszám sorszámúak.

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Árva Gergő, Boros 001 Ágnes, Csábi Barnabás, Csere Kálmán, Garamszegi Balázs, Gerencsér András, Gerlei Klára Zsófia, Gyóni Dorottya, Hürkecz Tamás, Kisgergely Dóra, Kitzinger Andor, Kovács 729 Gergely, Lajtai Krisztina, Lénárt Tamás, Major Bálint István, Mező Zsófia, Minya Fanni, Nagy Róbert, Najbauer Eszter Éva, Pálinkó Márton, Pasztuhov Anna, Scharle András, Szabó 365 Gyula, Szeifert Bea, Tímár Hajnalka, Tóth 004 Tamás, Tóth 943 Tímea, Túri Attila, Veszelka Zoltán, Welsz Edit.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai