A K. 174. feladat (2008. szeptember)

K. 174. a) Lehet-e négy egymást követő páratlan szám összege olyan négyjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?

b) Lehet-e öt egymást követő páros szám összege olyan ötjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?

c) Lehet-e nyolc egymást követő páratlan szám összege olyan nyolcjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Jelölje a négy egymást követő páratlan számot a-3, a-1, a+1, a+3, ahol a egy páros szám. Ekkor a számok összege 4a, ami osztható 8-cal, tehát a szóba jöhető egyetlen megfelelő négyjegyű szám a 8888. Ekkor a=2222, tehát a négy páratlan szám 2219, 2221, 2223, 2225. Ezek összege valóban 8888.

b) Az öt egymást követő páros szám legyen a-4, a-2, a, a+2, a+4, ahol a egy páros szám. Ezek összege 5a, tehát osztható 10-zel. Viszont nincs olyan ötjegyű szám, amelynek minden számjegye azonos, és osztható 10-zel, így nincs a feltételeknek megfelelő öt darab páros szám.

c) Jelölje a nyolc egymást követő páratlan számot a-7, a-5, a-3, a-1, a+1, a+3, a+5, a+7 ahol a egy páros szám. Ekkor a számok összege 8a, ami osztható 16-tal. A nyolcjegyű, egyforma számjegyekből álló számok közül csak a 88 888 888 osztható 8-cal, de nem osztható 16-tal, tehát nincs nyolc, a feltételeknek megfelelő páratlan szám.

Statisztika:

243 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	109 versenyző.
5 pontot kapott:	36 versenyző.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai