A K. 175. feladat (2008. október)

K. 175. Az ábrán lévő nyolc körbe írjuk be az egész számokat 1-től 8-ig úgy, hogy egyik szám se legyen összeköttetésben nála eggyel kisebbel vagy nagyobbal (pl. a 4 ne legyen összeköttetésben se a 3-mal, se az 5-tel). Adjuk meg az összes különböző megoldást. A megoldás(ok) elkészítésekor számít, hogy melyik betűjelű karikába melyik szám kerül.

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A karikák közül a C csak az E-vel, a G csak az A-val nincs összekötve, így ezekbe (C és G) kell a 8-ast és az 1-est írnunk, amikkel nincsenek összekötve, azokba pedig a 7-est és a 2-est. Tekintsük azt az esetet, amikor a C-be kerül a 8, és a G-be az 1. Ekkor az alábbi elrendezést láthatjuk:

A 6 nem kerülhet az E-vel szomszédos D-be és F-be, de B és H közül bármelyikben lehet. A 3 hasonló módon lehet D-ben vagy F-ben. Így a 4 a B és H közül üresen maradtba, az 5 pedig a D és F közül üresen maradtba kerül. Ebből négy megoldást kapunk (a helyhiányra való tekintettel egy ábrában foglaljuk össze ezeket):

További négy megoldást kapunk, ha a 8 és az 1 helyzetét felcseréljük:

Statisztika:

252 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	167 versenyző.
5 pontot kapott:	3 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai