A K. 177. feladat (2008. október)

K. 177. Hogyan kell hat szomszédos természetes számot megválasztanunk, hogy a négyzetük összege osztható legyen 7-tel?

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha hét egymást követő természetes számot vizsgálnánk 7-tel való osztási maradék alapján, akkor a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 mindegyike előfordulna maradékként. Mivel egy szorzat maradéka a tényezők maradékai szorzatának maradéka, így a hét szomszédos természetes szám négyzetének összege 7-tel való osztáskor annyi maradékot ad, mint amennyit a maradékok négyzetének összege: . Mivel a 91 osztható 7-tel, ezért a hét számból csak a 7-tel osztva 0 maradékot adó szám hagyható ki, egyébként a négyzetek összeg nem lenne osztható 7-tel. Így a feltételnek megfelelő hat szomszédos természetes szám egyike sem osztható 7-tel.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	90 versenyző.
5 pontot kapott:	31 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai