A K. 180. feladat (2008. október)

K. 180. Beírjuk 1-9-ig az egész számokat egy 3×3-as táblázatba valamilyen sorrendben, majd az egyes oszlopokban, illetve sorokban álló számjegyek balról jobbra, illetve fentről lefelé történő összeolvasásával kapott hat számot összeadjuk. Mennyi az így kapható két legkisebb lehetséges összeg? Például az ábrán látható elrendezésben az említett módon kiszámított összeg 531+296+748+527+394+168=2664.

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk be a táblázat mezőibe, hogy az egyes cellákban álló számok hányszorosan fognak számítani a kiszámított összegben!. Ezt úgy kapjuk, hogy figyelembe vesszük, az egyes cellákban álló számok a függőleges, illetve vízszintes összeolvasásnál milyen helyiértéken szerepelnek:

A lehető legkisebb számot úgy fogjuk kapni, hogy ha minél nagyobb szorzó mellé minél kisebb számot teszünk, azaz a táblázatot pl. az alábbi módon töltjük ki:

(a táblázatban az azonos szorzójú helyen álló számok cseréje az összeget változatlanul hagyja)

Így tehát a lehetséges legkisebb összeg 124+368+579+135+267+489=1962. A következő legkisebb összeg előállításához legalább két számot meg kell cserélnünk a táblázatban, és ezek különböző szorzójú helyen kell álljanak. Minden ilyen cserével nő az összeg, és a lehető legkisebb növekedést akkor fogjuk elérni, ha csak két számot cserélünk meg, a többit változatlan helyen hagyjuk. Ha a 200-as szorzójú helyen álló 1-est elcseréljük, akkor a legkisebb változást az eredményezi, ha a 2-essel cseréljük meg, így a változás +200-110=90. Ha a 110-es szorzójú helyen álló számokat akarjuk elcserélni valamelyikkel, akkor a legkisebb változást az hozza, ha a 3-ast a 4-essel cseréljük fel, a változás mértéke +110-101=9. Hasonló módon folytatva a 101-es és 20-as szorzójú 5 és 6 cseréje +101-20=91, a 20-as és 11-es szorzójú 6 és 7 cseréje +20-11=9, a 11-es és 2-es szorzójú 9 és 8 cseréje +11-2=9 változást eredményez az összegben. Tehát a második legkisebb lehetséges összeg 1962+9=1971.

Statisztika:

259 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bende Lilla, Borbély Roland, Csanády Bálint Zsombor, Enyedi Péter, Gila Nóra, Halász 423 Dániel, Halász Dániel, Jászberényi Tünde, Jekkel Dóra, Juhász-Bóka Bernadett, Kántor Brigitta, Karádi 468 Dániel Tamás, Kasó Márton, Katona Bálint, Kovács 411 Ádám, Kovács Flóra, László József, Ludas Dániel, Major Attila, Nagy 014 Gergely, Nagy 314 Viktor, Ódry Tamás, Pogány László, Samu Viktor, Sándor Tímea, Serfőző Virág Fanni, Stark Ádám, Straubinger Dániel, Szabó 093 Márk Zoltán, Szelestei Zsófia, Szigeti Tamás, Szőts Nóra, Tolnai Dániel, Tóth Balázs, Tőzsér Eszter, Tran Pham Hoang Anh Anna, Vonyó Viola, Weiszenburger Edit, Zagyva Dániel.
5 pontot kapott:	42 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	59 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	28 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai