A K. 185. feladat (2008. november)

K. 185. Tíz csapat körmérkőzéses futballbajnokságot játszik, azaz minden csapat minden csapattal pontosan egyszer mérkőzik. Egy meccsen a győztes csapat 3, a vesztes 0 pontot kap, döntetlen esetén mindkét csapat 1-1 ponttal gazdagodik. A bajnokság végére a csapatok pontszámának összege 119 lett. Igaz-e, hogy volt olyan csapat, amelyik legalább négy döntetlent játszott?

(6 pont)

A beküldési határidő 2008. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A tíz csapat közötti mérkőzések száma összesen . Mivel minden meccsen összesen 3 vagy 2 pontot osztanak ki, ezért a csapatok által összesen megszerezhető pontok száma maximum 3^.45=135. Ehhez képest azonban vesztettek összesen 16 pontot, azaz a lejátszott mérkőzések között 16 döntetlen volt. Ez összesen 32 döntetlen eredmény az egyes csapatokat tekintve, melyet a tíz csapat között kell szétosztani (mert egy döntetlen két csapathoz kapcsolódik), tehát mindenképpen volt olyan csapat, amelyik négy döntetlent játszott, ellenkező esetben legfeljebb 30 döntetlent könyvelhettek volna el összesen a csapatok.

Statisztika:

183 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	111 versenyző.
5 pontot kapott:	13 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	21 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai