A K. 189. feladat (2008. december)

K. 189. Egy gyakorló órán a matematikatanár ötféle feladatot tűzött ki, minden fajtából három darabot. Egy feladat jó megoldásáért 1 pontot kapnak a tanulók, ha nem oldottak meg ebből a fajtából többet. Ha két jó megoldásuk van egy fajtából, akkor ezekre feladatonként 4 pontot, ha mindhárom megvan egy fajtából, akkor ezekre feladatonként 9 pontot kapnak.

A feladatmegoldásban a tanulók csapatokban vettek részt. A végén minden csapatnak a többiekétől különböző pontszáma alakult ki, de minden csapat pontszáma 3-mal osztható lett. Legfeljebb hány csapat vehetett részt a feladatmegoldásban?

(6 pont)

A beküldési határidő 2009. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A csapatok a megoldott feladatcsoportokért 0, 1, 2^.4 vagy 3^.9, azaz 0, 1, 8 vagy 27 pontot kaptak. Egy csapatnak öt feladatcsoport megoldására volt lehetősége, tehát pontszáma összesen öt darab 0, 1, 8 vagy 27 összege. Foglaljuk táblázatba, az egyes feladatcsoportokra kapott milyen pontszámok esetén lesz 3-mal osztható az összpontszám! 1+1+1+1+8, 1+1+1+27+27, 1+1+8+8+27, 1+8+8+8+8, 1+8+27+27+27, 8+8+8+27+27, 27+27+27+27+27; 0+0+0+1+8=9, 0+0+0+27+27=54, 0+0+0+0+27=27, 0+0+0+0+0=0, 1+1+1+0+27=30, 1+1+1+0+0=3, 1+1+8+8+0=18, 1+8+0+27+27=63, 1+8+0+0+27=36, 8+8+8+0+27=51, 8+8+8+0+0=24, 0+27+27+27+27=108, 0+0+27+27+27=81. Ez összesen húsz lehetőség, tehát legfeljebb 20 csapat vehetett részt a feladatmegoldásban.

Statisztika:

168 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	53 versenyző.
5 pontot kapott:	37 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai