A K. 246. feladat (2010. február)

K. 246. Négy különböző pozitív számjegy felhasználásával elkészítettük az összes olyan négyjegyű számot, amelyben a számjegyek különbözők. Ezeknek a négyjegyű számoknak 186648 az összegük. Melyek lehettek a kiinduló számjegyek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a négy számjegy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Hat olyan négyjegyű szám van, melyben az \(\displaystyle a\) az ezres helyiértéken szerepel:

\(\displaystyle \overline{abcd}, \quad \overline{abdc}, \quad \overline{acbd}, \quad \overline{acdb}, \quad \overline{adbc}, \quad \overline{adcb}.\)

Ugyanígy hatszor szerepel az \(\displaystyle a\) a százasok, tízesek és egyesek helyén is, és ezek a megállapítások mindegyik számjegyre érvényesek. Így amikor összeadjuk a számokat, minden számjegyet minden helyiértéken hatszor adunk össze, tehát a számok összege \(\displaystyle 6666 \cdot (a+b+c+d)\). Emiatt a számjegyek összege 28. A lehetséges számjegynégyesek: {9, 8, 7, 4} vagy {9, 8, 6, 5}.

Statisztika:

136 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	108 versenyző.
5 pontot kapott:	1 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai