A K. 291. feladat (2011. március)

K. 291. Összeragasztottunk 125 db 1 cm élhosszúságú kockát egy nagyobb, tömör kockává, majd a nagy kockába az oldallapjaira merőlegesen négyzetes keresztmetszetű lyukakat fúrtunk úgy, hogy a lyukak teljesen átmennek a kockán. A lyukak elkészítése után a kocka minden lapja így nézett ki (a fekete négyzetek jelölik a lyukak helyét):

A lyukak elkészítése után az egész megmaradt testet piros festékbe mártottuk.

a) Hány cm³ a kapott test térfogata?

b) Hány cm² lett piros festékes?

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra szerint nézzük meg, hogy a kockát felszeletelve 5x5x1 kockából álló rétegekre, ezekben a rétegekben a lyukfúrás után hány kocka marad. A két szélső és a középső rétegből csak 4-4 kocka hiányzik, így ezek (rétegenként) 21 kockából állnak. A második és negyedik szeletből mindkét irányban elhagytunk két oszlopot, összesen \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 5 - 4=16\) kocka hiányzik, azaz ezek a rétegek 9 kockából állnak. A kapott test térfogata ezért \(\displaystyle 3\cdot 21+2\cdot 9= 81cm^3\).

Például rétegenként leszámolhatjuk a test festékes felszínét. Vegyük figyelembe, hogy a test szimmetrikus, ezért két-két rétegének felszíne (ami festékes lett) megegyezik. \(\displaystyle 2((25-4)+4\cdot 5 +4\cdot 4)+ (4\cdot 5 +4\cdot 4) + 2(4\cdot 3 + 12\cdot 4)=270\), a test \(\displaystyle 270cm^2\)-en lett piros festékes.

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ábrahám Dénes, Arnold Balázs, Árvay Júlia, Balogh Tamás, Csibi Levente, Csiszár 832 Viola, Csóti Annamária, Daku Gábor, Fábián Kristóf, Fehér Zsuzsanna, Fullér Soma, Gosztonyi Dorottya, Gönczi Georgina, Hetényi Viktória, Juhász 531 Sándor, Kácsor Szabolcs, Katona Adrienn, Kecskeméti Ádám, Lévai Botond Miklós, Makk László, Móricz Tamás, Nagy 817 Krisztina, Németh Klára Anna, Ökrös Dániel, Pálya Zsófia, Polonkai Vanda, Rácz 413 Bence, Rajki Dávid, Sárvári Péter, Somogyvári Kristóf, Szabó 524 Tímea, Tarjányi 158 Dániel, Tekeli Miklós, Tihanyi Dániel, Tóth 095 Zsombor, Tőkés Anna, Ulveczki Mihály, Vető Bálint, Vörös Zoltán János, Zsíros Szanna.
5 pontot kapott:	32 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	29 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai