Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 292. feladat (2011. március)

K. 292. Vegyük a koordinátarendszerben az A(0;0), B(b;2), C(b;5), D(0;d) pontokat, ahol b és d pozitív egész számok. Tudjuk, hogy ezek egy ABCD trapézt határoznak meg, melynek területe 25 egység. Adjuk meg a csúcsok hiányzó koordinátáit.

(6 pont)

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz alapjai \(\displaystyle AD=d\) és \(\displaystyle BC=5-2=3\), a trapéz magassága az y-tengely és a vele párhuzamos \(\displaystyle BC\) egyenes távolsága: \(\displaystyle b\). A trapéz területe \(\displaystyle t=\frac{d+3}{2}\cdot b=25\), ahonnan \(\displaystyle d=\frac{50}b-3\). Mivel \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle d\) pozitív egész számok, ezért \(\displaystyle b<50/3=16+1/3\), másrészről \(\displaystyle b\) osztója 50-nek. Ezért a következő eredmények születhetnek:

\(\displaystyle b\) 1 2 5 10
\(\displaystyle d\) 47 22 7 2

Statisztika:

155 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:80 versenyző.
5 pontot kapott:27 versenyző.
4 pontot kapott:7 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai