 |
A K. 293. feladat (2011. március) |
K. 293. Frédi a teheneit egy legelőn legelteti. Minden tehén mindennap ugyanannyi füvet eszik, függetlenül attól, hogy hány tehén van a legelőn. Egyszer Frédi kivitt 6 tehenet a legelőre, és ezek 3 nap alatt teljesen lelegelték az összes füvet, úgyhogy a 3 nap elteltével el kellett onnan hozni a teheneket, hogy a fű vissza tudjon nőni. Amikor a fű visszanőtt az eredeti mennyiségre, akkor Frédi 3 tehenet vitt ki a legelőre, és meglepődve tapasztalta, hogy most 7 nap kellett ahhoz, hogy teljesen lelegeljék az összes füvet a tehenek. Frédi nem értette a dolgot, ezért megkérdezte Bénit, akinek ötöse volt matekból. Béni elmondta Frédinek, hogy egy dologról megfeledkezett, miközben legeltette a teheneket és számolgatta a napokat. Miről feledkezett meg Frédi, és mennyi ideig tartana 1 tehénnek lelegelni ugyanerről a legelőről az összes füvet?
(6 pont)
A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Frédi arról feledkezett meg, hogy a fű folyamatosan nő.
A tehenek naponta \(\displaystyle k\) kazal füvet esznek, miközben a fű \(\displaystyle v\) kazalnyival nő, a legelőn \(\displaystyle N\) kazalnyi fű van a legelés kezdetén. Ezért \(\displaystyle N-3\cdot 6k+3v=0\) összefüggés adható a hat tehén legelésére, míg \(\displaystyle N-7\cdot 3k+7v=0\) összefüggés, amikor csak három tehén legelt. E kettő különbségéből \(\displaystyle 3k-4v=0\), azaz \(\displaystyle v=\frac34 k\). Ez azt is jelenti, hogy a legelőn \(\displaystyle N=\frac{63}4 k\) fű van legelés előtt. Ha egy tehén legeli le \(\displaystyle n\) nap alatt a legelőt, akkor \(\displaystyle N-nk+nv=\frac{63}4 k-nk+n(\frac34 k)=0\), ahonnan \(\displaystyle n=63\). Egy tehén 63 nap alatt legeli le a füvet egyedül.
Statisztika:
A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai