Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 320. feladat (2012. január)

K. 320. Az \overline{abcd} négyjegyű szám négy különböző pozitív számjegyből áll, továbbá tudjuk, hogy \overline{abcd} +\overline{bcda} +\overline{cdab} +\overline{dabc} =31\;108. Hány ilyen \overline{abcd} négyjegyű szám van?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet baloldalán mind a négy számjegy minden helyiértéken pontosan egyszer szerepel. Vagyis: \(\displaystyle 1111(a+b+c+d)=31108\), amiből \(\displaystyle a+b+c+d=28\). Mivel \(\displaystyle 7+8+9=24\), ezért a számjegyek lehetséges legkisebb értéke \(\displaystyle 28-24=4\). Ekkor a négy számjegy: 4, 7, 8, 9. Ha a legkisebb számjegy az 5, akkor a többi számjegy csak a 6, 8, 9 lehet. Más megoldás nincs. Mindkét esetben \(\displaystyle 4!=24\) lehetőség van a számjegyek sorrendjére, ez összesen 48 megfelelő négyjegyű szám.

Statisztika:

198 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:62 versenyző.
5 pontot kapott:51 versenyző.
4 pontot kapott:36 versenyző.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai