 |
A K. 323. feladat (2012. január) |
K. 323. Az ABC egyenlő szárú háromszög szárszöge 120o, az AB alap felezőpontja F. Az szögfelezője az AB alapot H pontban metszi.
a) Igazoljuk, hogy AH=CH.
b) Igazoljuk, hogy H az AB szakasz A csúcshoz közelebbi harmadolópontja.
(6 pont)
A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Az \(\displaystyle ACF\) szög \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, így az \(\displaystyle ACH\) szög \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os, akárcsak a \(\displaystyle CAH\) szög. Az \(\displaystyle ACH\) tehát egyenlő szárú háromszög, így \(\displaystyle AH = CH\).
b) A \(\displaystyle CHF\) háromszög egy \(\displaystyle 30^{\circ}\)-\(\displaystyle 60^{\circ}\)-\(\displaystyle 90^{\circ}\)-os derékszögű háromszög, melyben \(\displaystyle CH = 2HF\). Mivel \(\displaystyle AH = CH\), ezért \(\displaystyle AH\) az \(\displaystyle AB\) szakasz felének kétharmada, azaz az \(\displaystyle AB\) szakasz harmada. Így \(\displaystyle H\) harmadolópont.
c) Az \(\displaystyle ACD\) háromszög egyenlő szárú, melynek szárszöge \(\displaystyle 150^{\circ}\)-os. Tehát a \(\displaystyle DAC\) és \(\displaystyle ADC\) szögek \(\displaystyle 15^{\circ}\)-osak. A \(\displaystyle BCD\) háromszög is egyenlő szárú, melynek szárszöge \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os. Tehát a \(\displaystyle CDB\) és \(\displaystyle CBD\) szögek \(\displaystyle 45^{\circ}\)-osak. A szögek beírása után megkapjuk a választ: az \(\displaystyle ABD\) háromszög szögei: \(\displaystyle 45^{\circ}\), \(\displaystyle 75^{\circ}\), \(\displaystyle 60^{\circ}\).
Statisztika:
186 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 62 versenyző. 5 pontot kapott: 45 versenyző. 4 pontot kapott: 29 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 19 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2012. januári matematika feladatai