A K. 346. feladat (2012. október)

K. 346. Egy sorozatban a harmadik tagtól kezdve úgy képezzük a tagokat, hogy az eggyel előtte lévő tagból kivonjuk a kettővel előtte lévő tagot. (Tehát a harmadik tag = a második tag - az első tag, a negyedik tag = a harmadik tag - a második tag, és így tovább.) A sorozat első eleme 2, a sorozat első 2012 elemének összege 2012. Mennyi a sorozat második eleme?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A sorozat második tagját jelölje \(\displaystyle b\), az első tag 2. A sorozat képzési szabálya alapján a sorozat tagjai: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle b – 2\), \(\displaystyle b – 2 – b = –2\), \(\displaystyle –2 – (b – 2) = –b\), \(\displaystyle –b – (–2) = –b + 2\), \(\displaystyle –b + 2 – (–b) = 2\), \(\displaystyle 2 – (–b + 2) = b\), és innen már jól látszik, hogy a sorozat első 6 tagja fog ismétlődni. A hat folyamatosan ismétlődő szám összege 0, ebből adódóan az első 2010 tag összege is 0. A sorozat első 2012 tagjának összege tehát a 2011. és 2012. tag összege, ami \(\displaystyle 2+b = 2012\), tehát a sorozat második tagja \(\displaystyle b = 2010\).

Statisztika:

180 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	83 versenyző.
5 pontot kapott:	23 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai