A K. 347. feladat (2012. október)

K. 347. A hetvenes éveiben járó Luca nagyinak több fia van, mint lánya. Minden fiának annyi fia van, mint ahány testvére, és minden lányának csak lánya van. Hány éves Luca nagyi, ha életkorának fele megegyezik fiúunokái és fiúgyermekei számának összegével?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a fiainak számát \(\displaystyle F\)-fel, lányainak számát \(\displaystyle L\)-lel, ekkor \(\displaystyle 35\leq F + F\cdot (F + L -1) < 40\), azaz \(\displaystyle 35 \leq F \cdot (F + L) < 40\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle 0 < L < F\), tehát \(\displaystyle 35 \leq F \cdot (F + L) < F \cdot (2F)\), így \(\displaystyle 35 < 2F^2\), amiből \(\displaystyle F \geq 5\). Másrészt \(\displaystyle F \cdot (F + 0) < F \cdot (F + L) < 40\), azaz \(\displaystyle F^2 < 40\), ahonnan \(\displaystyle F \leq 6\). Tehát \(\displaystyle F\) értéke csak 5 vagy 6 lehet. Ha \(\displaystyle F\) értéke 5, akkor \(\displaystyle L\) csak 4-nél kisebb lehet, különben már a fiúunokák számának kétszerese is 79-nél nagyobb lenne. Hasonlóan, \(\displaystyle F=6\) esetén \(\displaystyle L\) legfeljebb 2 lehet. Készítsünk táblázatot:

A táblázat alapján Luca nagyinak 5 fia és 2 lánya, minden fiának 6 fia van, így 70 éves.

Statisztika:

197 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	72 versenyző.
5 pontot kapott:	36 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai