 |
A K. 348. feladat (2012. október) |
K. 348. Egy tört számlálója és nevezője is kétjegyű szám. A számlálójában szerepel a 3, a nevezőjében pedig az 5 számjegy, továbbá a másik két számjegy egyenlő. Hány ilyen különböző értékű tört van?
(6 pont)
A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A szám lehet \(\displaystyle a3/a5\), \(\displaystyle a3/5a\), \(\displaystyle 3a/a5\) és \(\displaystyle 3a/5a\) alakú. Az első 3-ból 9 különböző van, a negyedikből 10, de lehetnek közöttük egyenlők is.
Kétféle felírás egyszerűsítés nélkül hat esetben egyezhet meg:
1.) \(\displaystyle a3/a5= a3/5a\), vagyis \(\displaystyle a5 = 5a\), azaz \(\displaystyle a=5\);
2.) \(\displaystyle a3/a5=3a/a5\), itt \(\displaystyle a3=3a\), azaz \(\displaystyle a=3\);
3.) \(\displaystyle a3/a5=3a/5a\), itt \(\displaystyle a3=3a\) (\(\displaystyle a=3\)) és \(\displaystyle a5=5a\) (\(\displaystyle a=5\)), ami lehetetlen;
4.) \(\displaystyle a3/5a =3a/a5\), itt szintén;
5.) \(\displaystyle a3/5a =3a/5a\), itt \(\displaystyle a3 = 3a\), azaz \(\displaystyle a=3\);
6.) \(\displaystyle 3a/a5 =3a/5a\), itt \(\displaystyle 5a = a5\), azaz \(\displaystyle a=5\).
Tehát egyszerűsítés nélkül 4 egyezést találtunk.
Meg kell még nézni, hogy a törtek egyszerűsített alakja mikor egyezhet meg. Ehhez vizsgáljuk meg, melyik törtet lehet és mire egyszerűsíteni.
1.) \(\displaystyle a3/a5\): itt egy \(\displaystyle a\) sem megfelelő.
2.) \(\displaystyle a3/5a\): itt \(\displaystyle a=6\) jó: \(\displaystyle 63/56=9/8\).
3.) \(\displaystyle 3a/a5\): itt \(\displaystyle a=5\) megfelelő: \(\displaystyle 35/55=7/11\).
4.) \(\displaystyle 3a/5a\): itt 6 megfelelő \(\displaystyle a\) van: \(\displaystyle 30/50=15/25=6/10=3/5\); \(\displaystyle 32/52=16/26=8/13\); \(\displaystyle 34/54=17/27\); \(\displaystyle 35/55=7/11\); \(\displaystyle 36/56=18/28=9/14\); \(\displaystyle 38/58=19/29\).
Ezek közül csak két egyenlő van, de azt már fent is beleszámoltuk, mert az eredeti számok is megegyeznek (35/55).
Így a különböző értékű számok száma: \(\displaystyle 9\cdot3 + 10 – 4 = 33\).
Statisztika:
199 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bauer Márton, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Cserna Koppány Levente, Dobos-Kovács Mihály, Hamitova Regina, Kasó Ferenc, Kasó Gergő, Kerekes Klaudia, Kocsis Júlia, László Márton, Nagy Ferenc, Orbán Gábor, Pipis Bence, Stock Gábor, Szalai Tibor Viktor, Szentgyörgyi Flóra, Szilágyi Botond, Trón Réka, Varga 123 Péter, Varga Liza. 5 pontot kapott: Baglyas Márton, Gergely 97 Dominik Brúnó, Kasza Bence, Mihálykó Péter, Németh Flóra Boróka, Pálfi Mária, Szűcs Kilián Ádám, Tánczik Zsófia. 4 pontot kapott: 75 versenyző. 3 pontot kapott: 26 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 33 versenyző. 0 pontot kapott: 34 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai