A K. 354. feladat (2012. november)

K. 354. Egy pozitív egész szám és két szomszédjának négyzetösszege felírható öt egymást követő egész szám összegeként. Hány ilyen tulajdonságú szám van a háromjegyű számok között?

(6 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a megfelelő pozitív egész szám az \(\displaystyle a\). Ekkor:

\(\displaystyle (a-1)^2+a^2+(a+1)^2=(b-2)+(b-1)+b+(b+1)+(b+2),\)

ahol \(\displaystyle b\) is pozitív egész szám. Ezt rendezzük egyszerűbb alakra:

\(\displaystyle 3a^2+2=5b.\)

A jobb oldal osztható öttel, így a bal oldal is 5-tel osztható kell, hogy legyen.

A bal oldalon az \(\displaystyle a^2\) egy négyzetszám, ezért az utolsó számjegye csak 0, 1, 4, 5, 6 vagy 9 lehet. Ha a háromszorosát kettővel növeljük, akkor a végződés 2, 5, 4, 7, 0, 9 lehet. Két esetben kaptunk öttel osztható végződést. Vagyis csak azok a számok lesznek jók, amelyeknek a négyzete 1-re, vagy 6-ra végződik. Ezek a számok 1-re, 4-re, 6-ra, illetve 9-re végződhetnek. A megfelelő háromjegyűek: 101, 104, 106, 109, 111, 114, 116, 119, …, 991, 994, 996, 999. Vagyis \(\displaystyle 4\cdot\left(\frac{991-101}{10}+1\right)=360\) darab ilyen tulajdonságú szám van.

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	57 versenyző.
5 pontot kapott:	15 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai