A K. 373. feladat (2013. március)

K. 373. Egy asztalon van 29 pénzérme. Két játékos játszik, mindegyikük minden lépésben az asztalról vesz el érméket úgy, hogy az elvett érmék darabszáma pozitív négyzetszám legyen. A játékot az nyeri, aki utoljára tud érmét elvenni. Kinek van nyerő stratégiája? (Azaz melyik játékos tud úgy játszani, hogy a másik játékos bármilyen cselekvéssorozata esetén ő nyerje meg a játékot?)

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nevezzük a kezdő játékost Alfának, a másik játékost Bétának. Az elvehető pénzérmék darabszámára szóba jöhető négyzetszámok: 1, 4, 9, 16, 25. Ha Alfa elvesz 9 érmét, akkor 20 marad az asztalon. Ha Béta 16-ot vagy 4-et vesz el ez után, akkor Alfa el tudja venni a maradékot egyszerre és nyert. Ha Béta 9-et vesz el, akkor Alfa 1-et, és marad 10. Ha Béta 1 érmét vesz el, akkor Alfa 9-et és marad 10. Tekintsük tovább a játékot, 10 érme van az asztalon, és Béta következik. Ha Béta 9-et vagy 1-et vesz el, akkor Alfa elveszi a maradékot, és nyert. Ha Béta 4-et vesz el, akkor Alfa is, és már csak két érme maradt, amiből Béta és Alfa 1-1-et tudnak elvenni. Tehát ha Alfa először 9 érmét vesz el, akkor minden esetben nyer.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balázs Kristóf, Bálint Roland Péter, Balog 6 Klaudia, Bea Gergely, Bék Zsófia, Bottlik Judit, Coulibaly Patrik, Csatári Jakab, Csáti Olivér, Cserna Koppány Levente, David A Veres, Domokos Vanessza, Farkas Olivér, Gulyás Gabriella, Horváth 016 Gábor, Horváth 998 Gábor, Kálmán Gergely, Kasó Ferenc, Kerekes Klaudia, Kis Levente, Kocsis Júlia, Kósa Szilárd, Ladányi Zsuzsanna, Márton Tamás, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Mihálykó Péter, Nagy Dávid Paszkál, Németh Flóra Boróka, Németi Kornél, Pálfi Mária, Papp 535 Ágnes, Pintér Gergő, Ratkovics Gábor, Sebastian Fodor, Szalai Tibor Viktor, Szathmári Balázs, Szűcs Kilián Ádám, Szücs Patrícia, Trón Réka, Varga 123 Péter, Vecseri Bence, Zsedényi Dávid.
5 pontot kapott:	15 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai