A K. 376. feladat (2013. március)

K. 376. Hányféleképpen lehet az alábbi 16 pont közül 3-at kiválasztani úgy, hogy azok egy háromszög csúcsai legyenek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 16 pont közül 3-at \(\displaystyle \binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560\)-féleképpen választhatunk ki. Ezek közül azok nem lesznek jók, amikor a 3 pont egy egyenesbe esik. Ez az egyenes lehet függőleges, vízszintes vagy átlós irányú egyenes. Függőleges egyenesre eső pontokat egy oszlopból 4-féleképpen, tehát összesen 16-féleképpen választhatunk, ugyanennyi ponthármas jelent vízszintes egyeneseket is. Átlósan jobbra lefelé álló egyenest adó ponthármast 1+4+1-féleképpen kaphatunk, ugyanennyi van a másik irányban is, így összesen 16+16+6+6=44-féle ponthármas nem megfelelő. Tehát a háromszögeket adó kiválasztások száma 516.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	53 versenyző.
5 pontot kapott:	15 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai