Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 412. feladat (2014. február)

K. 412. Egy \sqrt{2} sugarú kör középpontja egy egységsugarú kör kerületén helyezkedik el. A két körvonal így négy részre osztja a síkot, közöttük egy kisebb és egy nagyobb hold alakú síkidomot találunk. Mekkora a kisebbik hold alakú síkidom területe?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen A a nagyobb, B a kisebb kör középpontja, C és D a körök metszéspontjai. Ekkor AB, BC, BD a kisebbik kör sugarai, ezért hosszuk 1, míg AC és AD a nagyobb kör sugarai, ezért hosszuk \sqrt2. Tehát az ABC és az ABD háromszögek oldalai 1, 1, \sqrt2, azaz ezek egyenlő szárú derékszögű háromszögek, mindkettőnél a B csúcsnál van a derékszög. Emiatt B a CD szakasz felezőpontja, így CD a kisebb kör átmérője, és az ACD háromszög is egyenlő szárú, derékszögű háromszög. Ha a H-val jelölt hold területéhez hozzáadjuk az S-sel jelölt körszelet területét, akkor éppen a kisebb, egységnyi sugarú kör területének felét kapjuk meg (S és H egyesítése félkör), amelynek nagysága \pi/2. S területét úgy kaphatjuk, hogy az ACD negyedkör területéből kivonjuk az ACD háromszög területét. Az ACD negyedkör területe \frac{(\sqrt2)^{2}\pi}{2}=\pi/2, az ACD háromszög területe pedig \frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=1, ezért S területe \pi/2-1, H területe pedig \pi/2-(\pi/2-1)=1.

Megjegyzés: Ha észrevesszük, hogy a nagy kör negyedének területe megegyezik a kis kör területének felével, akkor látszik, hogy H és az ACD háromszög területe megegyezik, hiszen mindkettőt az S körszelet egészíti az azonos területű negyed-, illetve félkörré.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:55 versenyző.
5 pontot kapott:25 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai