A K. 436. feladat (2014. november)

K. 436. Hány négyzetszám található az \(\displaystyle a_{n}= 1! + 2! + \ldots + n!\) sorozatban? (\(\displaystyle k!\) jelöli az 1-től \(\displaystyle k\)-ig terjedő egész számok szorzatát.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány tagját: \(\displaystyle a_1 = 1\); \(\displaystyle a_2 = 1 + 2 = 3\); \(\displaystyle a_3 = 1 + 2 + 6 = 9\); \(\displaystyle a_4 = 1 + 2 + 6 + 24 = 33\); \(\displaystyle a_5 = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153\); \(\displaystyle a_6 = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 = 873\);... Mivel 5! után minden faktoriális érték osztható 10-zel, a sorozat tagjainak végződése \(\displaystyle n=5\)-től kezdve nem változik, minden tag 3-ra végződik. Mivel azonban a négyzetszámok nem végződnek sosem 3-ra, azért csak az első négy tag között lehet négyzetszám. Megvizsgálva őket, két négyzetszámot találunk: az első és a harmadik tagot.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Katinka, Benda Orsolya, Csilling Eszter, Csiszer Bence, Csuha Boglárka, Duzmath Bálint, Encz Koppány, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, Földi Anna, Harsányi Benedek, Hegedűs 330 Marcell, János Zsuzsa Anna, Kollár Johanna, Kovács 124 Marcell, Kozma Dávid Márk, Kulcsár Simon, Maksa Gergő, Márton Anna, Mihályházi Péter, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Perényi Gellért, Pongrácz Edina, Rátkai Petra, Rumi Anna Sára, Simon411 Máté, Sisák László Sándor, Slenker Balázs, Tamási Kristóf Áron, Thuróczy Mylan, Tószegi Fanni, Tóth 802 Máté, Valentiny Anett, Valkó Bence, Varga 274 Tamás, Wenczel Kata.
5 pontot kapott:	19 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai