A K. 437. feladat (2014. november)

K. 437. Az alábbi szorzatban minden számjegy a 2, 3, 5, 7 valamelyike. Adjuk meg, a betűk milyen számjegyeket takarnak (a különböző betűk lehetnek azonos számjegyek, de csak a fenti négyből).

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nézzük meg, hogy a számjegyek egymással szorozva milyen eredményt adnak:

Látható, hogy csak három esetben kapunk olyan végződést, ami szerepelhet a szorzatban, így C×D és C×E csak 3×5, 5×3, 5×5, 7×5, 5×7 lehet, és J = N = S = 5.

Vizsgáljuk meg először, hogy D milyen számjegy lehet.

Ha D=5, akkor C-től függően a tízes átvitel a következő szorzathoz 1, 2 vagy 3. Mivel a következő szorzat is 5 többszöröse, így I értéke csak 2×5+2=12 vagy 2×5+3=13 esetén a 2, 3, 5, 7 egyike, amihez B-nek 2-nek kell lennie. Ha B=2, akkor viszont a következő tízes átvitel már biztosan 1, azaz H csak 1 vagy 6 lehet, ami nem jó. Tehát D nem lehet 5. Ugyanígy E sem lehet 5, így a C pedig 5.

Ha D=7, akkor az előző gondolatmenetet követve kapjuk, hogy csak a 325×7=2275 esetben szerepelnek a megfelelő számjegyek mindenhol. Ha E is 7, akkor 325×77=25025 viszont már nem jó a 0 miatt, ha E=3, akkor 325×3=975 a 9-es miatt esik ki. Tehát D nem lehet 7 sem.

D ezek alapján csak 3 lehet. Az 5×3 szorzatból az 1 tízes átvitel miatt B = 2 vagy 7 lehet (2×3+1=7 vagy 7×3+1=22). Az első esetben A = 5 kell, hogy legyen, hiszen nem volt átvitel, és csak az 5 többszörösei adnak megfelelő végződést. Ekkor viszont G = 1 lenne, ami nem lehet. Tehát B = 7, ami a 2 tízes átvitel miatt csak A = 7 esetén lehet. 775×3=2325, ha E=7, akkor 775×7=5425 nem jó a 4-es miatt, de 775×33=25575 már teljesen jó.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Katinka, Csuha Boglárka, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, Hegedűs 330 Marcell, János Zsuzsa Anna, Maksa Gergő, Mihályházi Péter, Németh Csilla Márta, Sipos Fanni Emma, Szarka Álmos, Tamási Kristóf Áron.
5 pontot kapott:	Dömötör Emőke, Farkas Panka, Mészáros Melinda, Nagy Marcell, Thuróczy Mylan, Tószegi Fanni, Varga 274 Tamás, Veliczky Barnabás.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	31 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai