A K. 447. feladat (2015. január)

K. 447. Találhatunk-e olyan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) természetes számokat, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle x^{2}+y^{2}=2015\)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy szám 4-gyel osztható, akkor a négyzete is. Ha egy szám 4-gyel osztva 1 vagy 3 maradékot ad, akkor felírható \(\displaystyle 4k±1\) alakban, aminek a négyzete \(\displaystyle 16k^2±8k+1=4(4k^2±2k)+1\), vagyis 4-gyel osztva 1-et ad maradékul. Ha pedig a szám 4-gyel osztva 2 maradékot ad, akkor a négyzete \(\displaystyle (4k+2)^2=16k^2+16k+4\), ami osztható 4-gyel. Vagyis egy négyzetszám 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot adhat. Két négyzetszám összege pedig 0, 1 vagy 2 maradékot. A 2015 maradéka 4-gyel osztva 3, tehát nem találhatunk megfelelő számokat.

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Katinka, Benda Orsolya, Csuha Boglárka, Encz Koppány, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, Harsányi Benedek, János Zsuzsa Anna, Kovács 124 Marcell, Lakatos Ágnes, Márton Anna, Mihályházi Péter, Nagy Marcell, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Sisák László Sándor, Slenker Balázs, Szarka Álmos, Szilágyi Botond, Szűcs 865 Eszter, Tamási Kristóf Áron, Thuróczy Mylan, Tószegi Fanni.
5 pontot kapott:	Bácskai Zsombor, Dévény Csaba, Dévényi Dalma, Dömötör Emőke, Fazekas 15 Levente, Földi Anna, Koronczi Fanni, Mészáros Melinda, Nagy Viktor, Pintér 345 Balázs, Szabó022 Eszter, Valkó Bence.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai